Un metateorema que garantiza que toda fórmula demostrable en un sistema deductivo formal dado es también semánticamente válida en la clase de modelos prevista; la derivabilidad sintáctica implica verdad modelística.

Principio

Las pruebas preservan la verdad: si una oración es derivable mediante las reglas del sistema, entonces se cumple en todos los modelos de la semántica elegida.

Demostración

En lógica proposicional se demuestra que si ⊢ φ (φ es derivable), entonces ⊨ φ (φ es verdadera en toda interpretación), comprobando que los axiomas son válidos y que las reglas de inferencia preservan validez.

Aplicación incorrecta

Asumir corrección para un sistema cuyas reglas permiten pasos inválidos (por ejemplo, una regla que deriva fórmulas arbitrarias) o confundir corrección con completitud.

Consecuencia

Confianza en las pruebas: un teorema demostrado no puede ser semánticamente falso respecto de la semántica prevista, lo que permite usar búsqueda de pruebas sintácticas para establecer verdades semánticas.

Inversión

La completitud invierte la relación al afirmar que la consecuencia semántica implica la demostrabilidad sintáctica (en los sistemas donde la completitud se cumple).

Límite

Se aplica sólo respecto a un sistema de prueba y una semántica especificados; la corrección puede fallar si se cambian reglas, axiomas o modelos previstos; no afirma por sí sola qué enunciados verdaderos son demostrables.

Tensión semántica

Tensión con la completitud y con nociones informales de verdad: la corrección asegura una dirección (derivación→validez) pero deja abierta la pregunta de si todas las validades son demostrables.

Síntesis

La corrección es la garantía formal de que la maquinaria deductiva no genera falsedades semánticas: vincula las derivaciones sintácticas con la validez semántica para un sistema e interpretación dados, mientras que su dependencia de reglas y modelos limita su alcance.