Conjunto de resultados y la propiedad asociada para una lógica o teoría que fuerzan restricciones sobre las cardinalidades de los modelos: típicamente el teorema de Löwenheim–Skolem descendente afirma que un conjunto satisfacible de oraciones posee un modelo de a lo sumo cierta cardinalidad menor (a menudo numerable), mientras que versiones ascendentes aseguran la existencia de modelos mayores; en conjunto expresan que la satisfacibilidad no fija la cardinalidad de modo estricto.

Principio

La idea organizadora es que la expresividad de primer orden no puede controlar cardinalidades infinitas arbitrarias: si una teoría tiene un modelo infinito, entonces, según el comportamiento de Löwenheim–Skolem de la lógica, existen modelos de distintas cardinalidades prescritas, de modo que la cardinalidad no queda rigidamente caracterizada por la sintaxis.

Demostración

Ejemplo: en la lógica clásica de primer orden, el teorema de Löwenheim–Skolem descendente implica que toda teoría satisfacible en un lenguaje numerable tiene un modelo numerable; esto conduce a la paradoja de Skolem: la teoría de conjuntos tiene modelos numerables aunque demuestre la existencia de conjuntos no numerables.

Aplicación incorrecta

Concluir erróneamente a partir de Löwenheim–Skolem que todos los modelos de una teoría son numerables, o aplicar el teorema sin comprobar la cardinalidad del lenguaje o las hipótesis de la lógica; otra mala interpretación es ver la existencia de modelos pequeños como una refutación semántica de la no numerabilidad en la interpretación intencionada.

Consecuencia

La propiedad limita la capacidad expresiva de la lógica respecto a distinciones de cardinalidad, es la base de fenómenos modelo-teóricos como la no-categoricidad en cardinalidades infinitas, y motiva el estudio de lógicas más potentes cuando se requiere control sobre las cardinalidades.

Inversión

La situación inversa aparece en lógicas que no satisfacen Löwenheim–Skolem: estas pueden en ocasiones expresar u imponer restricciones de cardinalidad sintácticamente (por ejemplo, ciertas lógicas de segundo orden o lógicas infinitarias), de modo que los tamaños de los modelos pueden verse restringidos por fórmulas.

Límite

Se aplica a lógicas y teorías bajo las hipótesis sintácticas habituales (tamaño del vocabulario, condiciones de compacidad); no se cumple automáticamente en lógicas de orden superior, en muchas lógicas de modelos finitos ni en marcos no clásicos que carezcan de las propiedades prueba-teóricas o semánticas requeridas.

Tensión semántica

Existe tensión entre el comportamiento de Löwenheim–Skolem y metas como la categoricidad o la caracterización absoluta de cardinalidades: imponer axiomas categóricos en todas las cardinalidades infinitas entra en conflicto con las transferencias ascendentes o descendentes del tamaño de modelos.

Síntesis

La propiedad de Löwenheim–Skolem formaliza los límites de la expresividad de primer orden respecto a las cardinalidades: garantiza transferencias de satisfacibilidad entre ciertas tallas y explica por qué muchas nociones sensibles a la cardinalidad no pueden fijarse puramente por la sintaxis de primer orden.