Eine Familie von Resultaten und die zugehörige Eigenschaft einer Logik oder Theorie, welche die Mächtigkeiten von Modellen einschränken: Typischerweise sagt der absteigende Löwenheim–Skolem-Satz, dass eine erfüllbare Menge von Formeln ein Modell bis zu einer bestimmten kleineren Mächtigkeit (häufig abzählbar) besitzt, während aufsteigende Versionen die Existenz größerer Modelle behaupten; zusammen drücken sie aus, dass Erfüllbarkeit die Modellmächtigkeit nicht streng festlegt.

Prinzip

Die ordnende Idee ist, dass die Ausdruckskraft der Prädikatenlogik keine beliebigen unendlichen Mächtigkeiten kontrollieren kann: Hat eine Theorie ein unendliches Modell, so gibt es gemäß dem Löwenheim–Skolem-Verhalten Modelle verschiedener vorgegebener Mächtigkeiten, sodass die Mächtigkeit nicht allein durch die Syntax starr festgelegt wird.

Demonstration

Beispiel: In der klassischen ersten Ordnung impliziert der absteigende Löwenheim–Skolem-Satz, dass jede erfüllbare Theorie in einer abzählbaren Sprache ein abzählbares Modell besitzt; dies führt zum Skolem-Paradoxon: Die Mengentheorie hat abzählbare Modelle, obwohl sie die Existenz überabzählbarer Mengen beweist.

Fehlanwendung

Fälschlicherweise aus Löwenheim–Skolem zu schließen, alle Modelle einer Theorie seien abzählbar, oder den Satz anzuwenden, ohne Sprachmächtigkeit oder die Voraussetzungen der Logik zu prüfen; eine weitere Fehlinterpretation ist, die Existenz kleiner Modelle als semantische Widerlegung der Überabzählbarkeit der intendierten Interpretation zu deuten.

Konsequenz

Die Eigenschaft beschränkt die Ausdrucksmöglichkeiten der Logik hinsichtlich Kardinalitätsdifferenzen, liegt modelltheoretischen Phänomenen wie Nicht-Kategorität in unendlichen Mächtigkeiten zugrunde und motiviert das Studium stärkerer Logiken, wenn Kontrolle über Mächtigkeiten erforderlich ist.

Umkehrung

Umgekehrt gibt es Logiken, die Löwenheim–Skolem nicht erfüllen: Diese können teilweise kardinalitätsspezifische Aussagen syntaktisch ausdrücken oder erzwingen (z. B. bestimmte zweite-Ordnung- oder infinitäre Logiken), sodass Modellgrößen durch Formeln eingeschränkt werden können.

Abgrenzung

Gilt für Logiken und Theorien unter den üblichen syntaktischen Annahmen (Größe der Signatur, Kompaktheitsbedingungen); sie gilt nicht automatisch in höheren Ordnungslogiken, vielen Logiken über endliche Modelle oder in nichtklassischen Rahmen, die die erforderlichen beweistheoretischen oder semantischen Eigenschaften nicht besitzen.

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen dem Löwenheim–Skolem-Verhalten und Zielen wie Kategorizität oder absoluter Kardinalitätscharakterisierung: Das Erzwingen kategorialer Axiome in allen unendlichen Mächtigkeiten steht im Widerspruch zu existierenden Auf- oder Abwärtsübertragungen von Modellgrößen.

Synthese

Die Löwenheim–Skolem-Eigenschaft formt die Grenzen der erstordentlichen Ausdruckskraft bezüglich Kardinalitäten: Sie sichert Übertragungen der Erfüllbarkeit zwischen bestimmten Mächtigkeiten und erklärt, weshalb viele kardinalitätsabhängige Begriffe nicht rein erstordentlich festgelegt werden können.