Propiedad de un sistema deductivo o teoría que afirma que para toda oración φ del lenguaje o bien φ es demostrable desde el sistema (o la teoría) o bien su negación ¬φ es demostrable; equivalentemente, la teoría es maximalmente consistente respecto de las oraciones del lenguaje.

Principio

La regla organizadora es que la relación de prueba decide cada aserto del lenguaje: la derivabilidad particiona el espacio de oraciones en demostrables y refutables, sin dejar oraciones independientes.

Demostración

Ejemplo: una teoría completa de primer orden como la teoría de cuerpos algebraicamente cerrados de una característica fija es sintácticamente completa porque para cada fórmula la teoría la prueba o prueba su negación; en contraste, la aritmética de Peano es sintácticamente incompleta porque existen oraciones aritméticas independientes de sus axiomas.

Aplicación incorrecta

Confundir la completitud sintáctica con la completitud semántica (el teorema de completitud que iguala consecuencia semántica con demostrabilidad) o con la decidibilidad; la completitud sintáctica no garantiza por sí misma un procedimiento efectivo para decidir cuál de φ o ¬φ se demuestra.

Consecuencia

Cuando una teoría es sintácticamente completa es maximalmente informativa: cada oración tiene un estatus de prueba definido respecto de la teoría, lo que implica que la teoría selecciona un único diagrama elemental completo hasta equivalencia lógica y facilita el análisis modelo-teórico categórico.

Inversión

La negación es la incompletitud sintáctica: existen oraciones ni demostrables ni refutables, lo que conduce a la presencia de enunciados independientes y a múltiples completaciones no equivalentes de la teoría.

Límite

Se aplica a un sistema deductivo dado o a una teoría específica en un lenguaje fijo; no se refiere a nociones semánticas de validez sobre todos los modelos, ni a la decidibilidad a nivel meta, ni a sistemas de prueba parciales que no estén cerrados bajo negación.

Tensión semántica

Hay tensión entre completitud sintáctica y decidibilidad efectiva, y entre completitud sintáctica y expresividad semántica: una teoría puede ser sintácticamente completa y aun así no ser decidible, o aumentar la expresividad puede romper la completitud.

Síntesis

La completitud sintáctica identifica teorías cuyo sistema de prueba no deja oraciones indecisas: conecta la determinación sintáctica máxima (toda oración o su negación es derivable) con la unicidad semántica de valores de verdad dentro de la teoría, manteniendo la distinción frente a la completitud semántica y la decidibilidad algorítmica.