Eine Eigenschaft eines deduktiven Systems oder einer Theorie, die besagt, dass für jede Formel φ in der Sprache entweder φ aus dem System (oder der Theorie) beweisbar ist oder ihre Negation ¬φ beweisbar ist; äquivalent dazu ist die Theorie maximal konsistent bezüglich der Formeln der Sprache.

Prinzip

Das ordnende Prinzip ist, dass die Beweisrelation jede atomare Aussage der Sprache entscheidet: Ableitbarkeit teilt den Raum der Formeln in beweisbare und widerlegbare auf, ohne unabhängige Formeln zuzulassen.

Demonstration

Beispiel: Eine vollständige erste Ordnungstheorie wie die Theorie algebraisch abgeschlossener Körper fester Charakteristik ist syntaktisch vollständig, denn für jede Satzform beweist die Theorie entweder diese oder deren Negation; im Gegensatz dazu ist die Peano-Arithmetik syntaktisch unvollständig, da es unabhängige arithmetische Sätze gibt.

Fehlanwendung

Verwechslung der syntaktischen Vollständigkeit mit semantischer Vollständigkeit (dem Vollständigkeitssatz, der semantische Folgerung mit Beweisbarkeit gleichsetzt) oder mit Entscheidbarkeit; syntaktische Vollständigkeit garantiert nicht notwendigerweise ein effektives Verfahren zur Entscheidung, ob φ oder ¬φ bewiesen wird.

Konsequenz

Wenn eine Theorie syntaktisch vollständig ist, ist sie maximal informativ: Jede Formel hat einen festen Beweisstatus relativ zur Theorie, was impliziert, dass die Theorie ein eindeutiges vollständiges elementares Diagramm bis auf logische Äquivalenz bestimmt und eine kategoriale modelltheoretische Analyse ermöglicht.

Umkehrung

Die Negation ist syntaktische Unvollständigkeit: Es existieren Formeln, die weder beweisbar noch widerlegbar sind, was zur Existenz unabhängiger Aussagen und zu mehreren nicht äquivalenten Vervollständigungen der Theorie führt.

Abgrenzung

Gilt für ein gegebenes deduktives System oder eine spezifische Theorie in einer festen Sprache; bezieht sich nicht auf semantische Begriffe der Gültigkeit über alle Modelle hinweg, nicht auf metatheoretische Entscheidbarkeit und nicht auf partielle Beweissysteme, die nicht unter Negation abgeschlossen sind.

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen syntaktischer Vollständigkeit und effektiver Entscheidbarkeit sowie zwischen syntaktischer Vollständigkeit und semantischer Ausdrucksstärke: Eine Theorie kann syntaktisch vollständig und dennoch unentscheidbar sein, oder Erweiterungen der Sprache können die Vollständigkeit aufheben.

Synthese

Syntaktische Vollständigkeit kennzeichnet Theorien, deren Beweissystem keine Formel offen lässt: Sie verbindet maximale syntaktische Determiniertheit (jede Formel oder ihre Negation ist derivierbar) mit der modelltheoretischen Einzigartigkeit von Wahrheitswerten innerhalb der Theorie, wobei sie sich klar von semantischer Vollständigkeit und algorithmischer Entscheidbarkeit abgrenzt.