Propiedad de un sistema deductivo por la que toda fórmula que es semánticamente válida (verdadera en todos los modelos de la semántica del sistema) es demostrable dentro del cálculo de pruebas del sistema.

Principio

La completitud semántica exige la alineación entre consecuencia modelística y derivabilidad sintáctica: si una sentencia es verdadera en todos los modelos, las reglas formales del sistema pueden derivarla; la completitud suele probarse mediante la construcción de un modelo canónico a partir de conjuntos consistentes o por teoremas de completitud.

Demostración

La lógica de primer orden es semánticamente completa en el sentido del teorema de completitud de Gödel: toda sentencia verdadera en todos los modelos de una teoría de primer orden es derivable de los axiomas de la teoría mediante las reglas de primer orden.

Aplicación incorrecta

Confundir la completitud semántica con la completitud sintáctica (o de negación) de una teoría (que toda sentencia o su negación sea demostrable), o interpretar erróneamente los teoremas de incompletitud de Gödel como una contradicción con el teorema de completitud de primer orden.

Consecuencia

Un sistema semánticamente completo garantiza que la búsqueda de pruebas es adecuada para captar todas las verdades semánticas del lenguaje: si una fórmula es válida existe alguna prueba finita en el sistema (aunque pueda ser difícil de encontrar).

Inversión

Incompletitud semántica: existen sentencias semánticamente válidas que no son demostrables en el sistema; la completitud sintáctica es ortogonal y se refiere a la demostrabilidad de cada enunciado o su negación.

Límite

Se aplica a un lenguaje y marco semántico especificados; la completitud no implica decidibilidad, ni garantiza la existencia de procedimientos efectivos de búsqueda de pruebas para teorías arbitrarias expresadas en el lenguaje.

Tensión semántica

Tensión entre completitud semántica, decidibilidad y completitud sintáctica: un sistema puede ser semánticamente completo pero no decidible, y la completitud no implica que cada enunciado sea decidible dentro de la teoría.

Síntesis

La completitud semántica conecta la verdad en todos los modelos con la demostrabilidad: cuando un sistema deductivo es semánticamente completo, la validez modelística y la derivabilidad sintáctica coinciden, permitiendo que las pruebas capturen todas las consecuencias semánticas universales.