Eigenschaft eines deduktiven Systems, dass jede Formel, die semantisch gültig ist (in allen Modellen der Semantik des Systems wahr), innerhalb des Beweissystems beweisbar ist.

Prinzip

Semantische Vollständigkeit verlangt Übereinstimmung zwischen modelltheoretischer Konsequenz und syntaktischer Ableitbarkeit: Wenn ein Satz in allen Modellen gilt, können die formalen Regeln des Systems ihn ableiten; Vollständigkeit wird oft durch Konstruktion eines kanonischen Modells aus konsistenten Mengen oder mittels Vollständigkeitssätzen bewiesen.

Demonstration

Die prädikatenlogik erster Stufe ist semantisch vollständig im Sinne von Gödels Vollständigkeitssatz: Jede Formel, die in jedem Modell einer first-order Theorie wahr ist, ist aus den Axiomen der Theorie mit den Regeln der ersten Ordnung ableitbar.

Fehlanwendung

Semantische Vollständigkeit mit syntaktischer (oder Negations-)Vollständigkeit einer Theorie zu verwechseln (dass jede Aussage oder ihre Negation beweisbar ist) oder Gödels Unvollständigkeitssätze fälschlich als Widerspruch zur Vollständigkeit der ersten Stufe zu lesen.

Konsequenz

Ein semantisch vollständiges System stellt sicher, dass Beweissuche ausreichend ist, um alle semantischen Wahrheiten der Sprache zu erfassen: Ist eine Formel gültig, so existiert ein endlicher Beweis im System (auch wenn der Beweis schwer zu finden sein kann).

Umkehrung

Semantische Unvollständigkeit: Es existieren semantisch gültige Sätze, die im System nicht beweisbar sind; syntaktische Vollständigkeit ist orthogonal und betrifft die Beweisbarkeit jeder Aussage oder ihrer Negation.

Abgrenzung

Gilt für eine bestimmte Sprache und ein festgelegtes semantisches Rahmenwerk; Vollständigkeit impliziert nicht Entscheidbarkeit und garantiert nicht die Existenz effektiver Beweissuchverfahren für beliebige Theorien in der Sprache.

Semantische Spannung

Spannung zwischen semantischer Vollständigkeit und Entscheidbarkeit bzw. syntaktischer Vollständigkeit: Ein System kann semantisch vollständig und dennoch unentscheidbar sein; Vollständigkeit bedeutet nicht, dass jede Aussage innerhalb der Theorie entscheidbar ist.

Synthese

Semantische Vollständigkeit verbindet Wahrheitsgültigkeit in allen Modellen mit Beweisbarkeit: Wenn ein deduktives System semantisch vollständig ist, fallen modelltheoretische Gültigkeit und syntaktische Ableitbarkeit zusammen, sodass Beweise alle universellen semantischen Folgerungen erfassen.