Procedimiento que reduce ciertas ecuaciones en derivadas parciales, típicamente de primer orden o cuasilineales hiperbólicas, a ecuaciones diferenciales ordinarias siguiendo curvas características a lo largo de las cuales la PDE se convierte en una ODE.

Principio

Identificar curvas en el espacio de variables independientes (características) a lo largo de las cuales las derivadas direccionales capturan la evolución de la PDE, convirtiendo derivadas parciales en derivadas totales y generando ODE para los valores y derivadas de la solución en dichas curvas.

Demostración

Para la ecuación de advección lineal u_t + c u_x = 0, las características son x(t)=x0+ct y u es constante a lo largo de cada característica: du/dt = 0, por tanto u(x,t)=u(x-ct,0).

Aplicación incorrecta

Aplicar características sin criterio a ecuaciones elípticas o a problemas no lineales sin comprobar el cruce de características; en leyes de conservación las características pueden intersectarse y producir choques que invalidan la solución clásica por características.

Consecuencia

Cuando es aplicable, convierte la PDE en una familia de ODE que revelan direcciones de propagación, invariantes a lo largo de los flujos y permiten fórmulas explícitas o esquemas numéricos eficaces.

Inversión

Métodos de discretización global como elementos finitos o espectrales resuelven la PDE en todo el dominio sin reducción a lo largo de curvas y son preferibles cuando las características no están bien definidas.

Límite

Adecuado para PDEs hiperbólicas de primer orden y algunas cuasilineales en las que existen características bien comportadas; no aplicable a problemas elípticos y requiere tratamiento especial en presencia de choques o cáusticas.

Tensión semántica

Existe tensión con el método de líneas y con marcos de soluciones débiles: las características ofrecen descripciones ODE puntuales, mientras que las formulaciones débiles y las discretizaciones globales gestionan discontinuidades y fenómenos no suaves de forma diferente.

Síntesis

Método De Las Características = seguir curvas características donde la PDE se reduce a ODEs, usar esas ODEs para construir soluciones o esquemas numéricos y atender a las interacciones de características que pueden exigir soluciones débiles.