Ein Verfahren, bestimmte partielle Differentialgleichungen — typischerweise erste Ordnung oder quasilineare hyperbolische Gleichungen — in gewöhnliche Differentialgleichungen zu überführen, indem man Charakteristiken verfolgt, entlang derer die PDE zu einer ODE wird.

Prinzip

Kurven im Raum der unabhängigen Variablen (Charakteristiken) identifizieren, entlang derer Richtungsableitungen die Entwicklung der PDE erfassen, partielle Ableitungen in Totale Ableitungen überführen und ODEs für Werte und Ableitungen entlang dieser Kurven liefern.

Demonstration

Für die lineare Advektionsgleichung u_t + c u_x = 0 sind die Charakteristiken x(t)=x0+ct und u ist entlang jeder Charakteristik konstant: du/dt = 0, also u(x,t)=u(x-ct,0).

Fehlanwendung

Charakteristiken gedankenlos auf elliptische Gleichungen oder auf nichtlineare Probleme anwenden, ohne Kreuzungen der Charakteristiken zu prüfen; bei Erhaltungsgesetzen können Charakteristiken sich schneiden und Schocks erzeugen, die klassische Lösungen unbrauchbar machen.

Konsequenz

Wenn anwendbar, wandelt die Methode eine PDE in eine Familie von ODEs um, die Ausbreitungsrichtungen, Invarianten entlang der Flüsse und explizite Lösungsdarstellungen oder effiziente numerische Verfahren offenbaren.

Umkehrung

Globale Diskretisationsmethoden wie Finite-Elemente- oder Spektralverfahren lösen die PDE auf dem gesamten Gebiet ohne Reduktion entlang von Kurven und sind vorzuziehen, wenn Charakteristiken nicht gut definiert sind.

Abgrenzung

Geeignet für erste Ordnung und manche quasilineare hyperbolische PDEs, bei denen Charakteristiken existieren und wohlverhalten sind; nicht anwendbar auf elliptische Probleme und erfordert besondere Behandlung bei Schocks oder Kaustiken.

Semantische Spannung

Spannung besteht gegenüber der Methode der Linien und schwachen Lösungsrahmen: Charakteristiken liefern punktweise ODE-Beschreibungen, während schwache Formulierungen und globale Diskretisationen Discontinuitäten und nichtglatte Phänomene anders behandeln.

Synthese

Methode Der Charakteristiken = Charakteristiken folgen, wo die PDE zu ODEs vereinfacht wird; diese ODEs zur Konstruktion von Lösungen oder numerischen Verfahren nutzen und Wechselwirkungen der Charakteristiken berücksichtigen, die schwache Lösungen erforderlich machen können.