Un estimador bayesiano recursivo para sistemas dinámicos lineales bajo supuestos de ruido gaussiano que produce estimaciones del estado oculto con varianza mínima alternando pasos de predicción (actualización temporal) y corrección (actualización por medida).

Principio

Propagar una estimación gaussiana del estado a través de dinámicas lineales y actualizarla condicionando sobre nuevas mediciones lineales-gaussianas; la actualización de Kalman minimiza la covarianza a posteriori entre los estimadores lineales no sesgados bajo las suposiciones del modelo.

Demostración

Rastrear la posición y velocidad de una aeronave: usar un modelo de movimiento lineal para predecir el estado y la covarianza en el tiempo, luego incorporar mediciones de radar con ruido conocido para calcular la ganancia de Kalman y corregir la predicción obteniendo una estimación mejorada.

Aplicación incorrecta

Aplicar el filtro de Kalman estándar a dinámicas fuertemente no lineales o a ruido no gaussiano sin adaptación, lo que produce estimaciones sesgadas o inconsistentes porque se violan las condiciones de optimalidad lineal-gaussiana.

Consecuencia

Bajo las suposiciones del modelo, el filtro de Kalman proporciona estimaciones secuenciales óptimas del estado y de la covarianza, permitiendo filtrado en tiempo real eficiente, suavizado y evaluación de verosimilitud para estimación de parámetros.

Inversión

Estimadores por lotes no recursivos o filtros de partículas operan de forma diferente: el suavizado por lote usa todos los datos simultáneamente para una posterior, mientras que los filtros de partículas aproximan posteriors arbitrarias con mayor coste computacional y sin supuestos de linealidad-gaussianidad.

Límite

Válido para modelos de espacio de estados lineales con ruido aditivo gaussiano o para aproximaciones localmente lineales; no asegura optimalidad exacta cuando los modelos u observaciones son no lineales o el ruido es significativamente no gaussiano sin adaptaciones como EKF, UKF o métodos de partículas.

Tensión semántica

Tensión entre el filtrado de Kalman y el filtrado con partículas o filtros variacionales: los métodos de Kalman priorizan la trazabilidad y las actualizaciones de covarianza en forma cerrada bajo gaussianidad, mientras que los de partículas intercambian optimalidad analítica por aplicabilidad a no linealidad y no gaussianidad.

Síntesis

El filtro de Kalman es un algoritmo recursivo en forma cerrada que transforma estimaciones gaussianas a priori mediante modelos lineales y mediciones en gaussianas a posteriori mediante una ganancia que minimiza la incertidumbre; es eficiente y óptimo bajo sus supuestos, pero requiere adaptación o sustitución cuando éstos se incumplen.