Ein rekursiver bayesscher Schätzer für lineare dynamische Systeme unter der Annahme gaußscher Störungen, der Minimum-Varianz-Schätzungen des verborgenen Zustands liefert, indem er Vorhersage- (Zeitupdate) und Korrektur- (Messupdate) Schritte abwechselt.

Prinzip

Eine gaußsche Zustandsverteilung durch lineare Dynamik propagieren und diese Schätzung durch Konditionierung an neue linear-gaußsche Messungen aktualisieren; das Kalman-Update minimiert die a-posteriori-Kovarianz unter den linearen unvoreingenommenen Schätzern gemäß den Modellannahmen.

Demonstration

Verfolgung der Position und Geschwindigkeit eines Flugzeugs: ein lineares Bewegungsmodell verwenden, um Zustand und Kovarianz vorwärts zu projizieren, dann Radar-Messungen mit bekanntem Messrauschen einbinden, den Kalman-Gain berechnen und den vorhergesagten Zustand korrigieren.

Fehlanwendung

Den Standard-Kalman-Filter auf stark nichtlineare Dynamiken oder nicht-gaussches Rauschen ohne Anpassung anwenden, was zu verzerrten oder inkonsistenten Schätzungen führt, da die linear-gaußschen Optimalitätsbedingungen verletzt sind.

Konsequenz

Unter Modellannahmen liefert der Kalman-Filter optimale sequentielle Zustandschätzungen und Kovarianzen, ermöglicht effizientes Echtzeitfiltern, Glätten und Likelihood-Berechnung zur Parameterschätzung.

Umkehrung

Nichtrekursive Batch-Schätzer oder Partikelfilter arbeiten anders: Batch-Glätten nutzt alle Daten gemeinsam für eine Posterior, während Partikelfilter beliebige Posteriorverteilungen approximieren können, allerdings mit höherem Rechenaufwand und ohne Linearitäts-Gaussianitätsvoraussetzungen.

Abgrenzung

Gilt für lineare Zustandsraum-Modelle mit additivem gaußschem Rauschen oder für lokal linearisierten Annäherungen; exakte Optimalität entfällt bei nichtlinearen Modellen oder deutlich nicht-gausschem Rauschen ohne Anpassungen wie EKF, UKF oder Partikelmethoden.

Semantische Spannung

Spannung zwischen Kalman-Filtern und Partikelfiltern beziehungsweise variationalen Filtern: Kalman-Methoden setzen auf Geschlossenheit und Kovarianz-Updates in geschlossener Form unter Gaussianität, während Partikelfilter die analytische Optimalität gegen Anwendbarkeit auf Nichtlinearität und Nicht-Gaussianität eintauschen.

Synthese

Der Kalman-Filter ist ein geschlossener rekursiver Algorithmus, der a-priori-Gauss-Verteilungen durch lineare Modelle und Messungen in a-posteriori-Gauss-Verteilungen überführt mittels eines Gains, der die Unsicherheit minimiert; er ist recheneffizient und optimal unter den Modellannahmen, erfordert jedoch Anpassungen bei deren Verletzung.