Magnitud escalar que mide cómo las perturbaciones relativas en los datos de entrada de un problema se amplifican en perturbaciones relativas de su solución; para un sistema lineal Ax = b con A invertible y una norma elegida, el número de condicionamiento matricial es ||A||·||A^{-1}||.

Principio

Propagación de errores relativos: los cambios relativos de primer orden en la salida están acotados proporcionalmente por el número de condicionamiento multiplicado por los cambios relativos en la entrada, de modo que el número organiza la sensibilidad frente a perturbaciones de datos independientemente del algoritmo.

Demostración

Resolver Ax = b con A próximo a singular produce grandes variaciones en x ante pequeños cambios en b; por ejemplo, matrices tipo Hilbert exhiben un rápido crecimiento de ||A||·||A^{-1}||, lo que indica pérdida de dígitos significativos en las soluciones computadas.

Aplicación incorrecta

Usar el número de condicionamiento de una matriz de coeficientes como predictor definitivo de la precisión de un algoritmo sin considerar la norma elegida, la formulación del problema (p. ej. escalado) o la estabilidad numérica del método es incorrecto.

Consecuencia

Un número de condicionamiento grande advierte que pueden producirse errores relativos importantes o pérdida de precisión y motive precondicionamiento, regularización o reformulación para mejorar la fiabilidad de las soluciones.

Inversión

Un problema con número de condicionamiento cercano a uno está bien condicionado: pequeñas perturbaciones de entrada causan cambios proporcionales pequeños en la salida y los métodos numéricos estándar suelen conservar la precisión.

Límite

El número de condicionamiento es una propiedad del problema matemático (respecto a una norma y al mapeo solución), no de una implementación en particular; es infinito para aplicaciones lineales no invertibles y depende de la elección de la norma.

Tensión semántica

A menudo se confunde con la estabilidad numérica (propiedad de un algoritmo); el número de condicionamiento cuantifica la sensibilidad intrínseca del problema, mientras que la estabilidad describe cómo un algoritmo amplifica sus propios errores.

Síntesis

El número de condicionamiento resume la sensibilidad intrínseca: dado un problema normado y su mapeo solución, acota el error relativo de salida debido a perturbaciones relativas de entrada y orienta remedios (escalado, precondicionamiento, regularización).