Eine skalare Größe, die misst, wie relative Störungen in den Eingabedaten eines Problems in relative Störungen der Lösung verstärkt werden; für ein lineares System Ax = b mit invertierbarem A und gewählter Norm ist die Matrixkonditionszahl ||A||·||A^{-1}||.

Prinzip

Propagation relativer Fehler: relative Änderungen erster Ordnung der Ausgabe sind proportional zur Konditionszahl mal relativen Änderungen der Eingabe beschränkt, sodass die Konditionszahl die Empfindlichkeit gegenüber Datenstörungen unabhängig vom gewählten Algorithmus organisiert.

Demonstration

Die Lösung von Ax = b mit nahezu singulärem A führt zu großen Änderungen in x bei kleinen Änderungen in b; Beispielhaft zeigen Hilbert-Matrizen schnell wachsende ||A||·||A^{-1}||, was auf den Verlust signifikanter Stellen in numerischen Lösungen hinweist.

Fehlanwendung

Die Konditionszahl einer Koeffizientenmatrix als endgültigen Indikator für die Genauigkeit eines Algorithmus zu verwenden, ohne Normwahl, Problemformulierung (z. B. Skalierung) oder numerische Stabilität des Algorithmus zu berücksichtigen, ist falsch.

Konsequenz

Eine große Konditionszahl legt nahe, dass erhebliche relative Fehler oder Genauigkeitsverluste möglich sind, und rechtfertigt Preconditioning, Regularisierung oder Umformulierung zur Verbesserung der Zuverlässigkeit der berechneten Lösung.

Umkehrung

Ein Problem mit einer Konditionszahl nahe eins ist gut konditioniert: Kleine Eingabestörungen führen zu proportional kleinen Ausgabestörungen, und Standardnumerik bewahrt in der Regel die Genauigkeit.

Abgrenzung

Die Konditionszahl ist eine Eigenschaft des mathematischen Problems (bezogen auf eine Norm und die Lösungabbildung), nicht einer konkreten Implementierung; sie wird für nichtinvertierbare lineare Abbildungen unendlich und hängt von der Normwahl ab.

Semantische Spannung

Wird oft mit numerischer Stabilität (Eigenschaft eines Algorithmus) verwechselt; die Konditionszahl quantifiziert die inhärente Empfindlichkeit des Problems, Stabilität dagegen beschreibt, wie ein Algorithmus eigene Fehler verstärkt.

Synthese

Die Konditionszahl fasst die intrinsische Empfindlichkeit zusammen: Für ein normiertes Problem und eine Lösungabbildung beschränkt sie die relative Ausgabeabweichung durch relative Eingabestörungen und leitet Maßnahmen wie Skalierung, Preconditioning oder Regularisierung ab.