Propiedad de una sucesión, serie o familia de aproximaciones por la cual sus términos se acercan a un único valor límite (a menudo la solución exacta) cuando el parámetro de refinamiento (por ejemplo número de iteraciones, tamaño de malla o índice de truncamiento) tiende a su valor ideal.

Principio

Un algoritmo o sucesión converge cuando la distancia entre su aproximación n-ésima y el límite tiende a cero conforme n aumenta o el parámetro de discretización tiende a su valor ideal; la velocidad a la que disminuye esta distancia caracteriza la tasa de convergencia.

Demostración

Iterar el método de Newton sobre una ecuación no lineal suficientemente suave: cerca de una raíz simple, los iterados sucesivos normalmente se aproximan a la raíz verdadera y el error suele decrecer de forma cuadrática, ilustrando la convergencia y una tasa concreta.

Aplicación incorrecta

Tomar el acercamiento aparente de iterados hacia un valor estable en una prueba tosca como prueba de convergencia para todos los datos iniciales o refinamientos más finos; confundir estancamiento numérico lento u oscilación con convergencia.

Consecuencia

Cuando existe convergencia y se conoce su tasa, se puede predecir cuántas iteraciones o cuán fina debe ser la discretización para alcanzar una tolerancia objetivo y asignar recursos computacionales en consecuencia.

Inversión

Divergencia: la sucesión no se aproxima a ningún límite finito, u oscila sin asentarse, o el error no tiende a cero — a menudo indicio de un método inadecuado, parámetros erróneos o inestabilidad.

Límite

Se aplica a sucesiones deterministas, series y esquemas iterativos; por sí sola no cuantifica la corrección en pasos finitos, ni implica estabilidad o exactitud sin condiciones adicionales; los estimadores probabilísticos requieren modos de convergencia distintos.

Tensión semántica

La convergencia a menudo se confunde con exactitud o estabilidad: la exactitud trata la cercanía en casos finitos, la estabilidad la respuesta a perturbaciones, mientras que la convergencia es una afirmación asintótica sobre límites.

Síntesis

La convergencia es el acercamiento asintótico de las aproximaciones a un límite; su valor práctico reside en saber si y con qué rapidez ocurre para planificar e interpretar cálculos finitos, siempre comprobando estabilidad y exactitud.