Eigenschaft einer Folge, Reihe oder Familie von Approximationen, bei der ihre Elemente einen einzigen Grenzwert (häufig die exakte Lösung) erreichen, wenn der Verfeinerungsparameter (z. B. Iterationszahl, Gittergröße oder Trunkierungsindex) gegen seinen idealen Wert geht.

Prinzip

Ein Algorithmus oder eine Folge konvergiert, wenn der Abstand zwischen der n-ten Approximation und dem Grenzwert gegen null geht, wenn n wächst oder der Diskretisierungsparameter seinen Idealwert annimmt; die Geschwindigkeit, mit der dieser Abstand schrumpft, charakterisiert die Konvergenzrate.

Demonstration

Die Iteration des Newton-Verfahrens für eine hinreichend glatte nichtlineare Gleichung: In der Nähe einer einfachen Nullstelle nähern sich die aufeinanderfolgenden Iterierten typischerweise der echten Nullstelle an und der Fehler nimmt oft quadratisch ab, was Konvergenz und eine spezifische Konvergenzrate zeigt.

Fehlanwendung

Das Beobachten, dass Iterierten auf einem groben Testwert scheinbar auf einen stabilen Wert zulaufen, als Beweis für Konvergenz für alle Anfangswerte oder feinere Verfeinerungen zu werten; langsame numerische Stagnation oder Oszillation mit Konvergenz zu verwechseln.

Konsequenz

Wenn Konvergenz vorliegt und ihre Rate bekannt ist, kann man abschätzen, wie viele Iterationen oder wie feine Diskretisierung benötigt werden, um eine Zieltoleranz zu erreichen, und entsprechend Rechenressourcen planen.

Umkehrung

Divergenz: Die Folge nähert sich keinem endlichen Grenzwert, oder sie oszilliert ohne sich einzupendeln, oder der Fehler geht nicht gegen null — oft ein Hinweis auf eine ungeeignete Methode, falsche Parameter oder Instabilität.

Abgrenzung

Gilt für deterministische Folgen, Reihen und iterative Verfahren; sagt nicht allein etwas über die Korrektheit auf endlichen Schritten aus und impliziert ohne zusätzliche Bedingungen weder Stabilität noch Genauigkeit; probabilistische Schätzer benötigen eigene Konvergenzbegriffe.

Semantische Spannung

Konvergenz wird häufig mit Genauigkeit oder Stabilität vermischt: Genauigkeit bezieht sich auf die Näherung bei endlichen Proben, Stabilität auf die Reaktion auf Störungen, während Konvergenz eine asymptotische Aussage über Grenzwerte ist.

Synthese

Konvergenz ist das asymptotische Annähern von Approximationen an einen Grenzwert; praktisch wichtig ist das Wissen, ob und wie schnell dies geschieht, damit endliche Rechnungen geplant und interpretiert werden können, unter Berücksichtigung von Stabilität und Genauigkeit.