Un objeto algebraico multilinear que asigna tuplas de vectores y covectores a escalares (o a otros tensores) y que se transforma bajo cambio de coordenadas según leyes tensoriales específicas; generaliza escalares, vectores y matrices.

Principio

Los tensores se definen por multilinealidad y reglas de transformación: sus componentes en una base de coordenadas cambian mediante productos de las matrices de transformación de coordenadas, garantizando que el tensor represente una relación multilinar invariante independiente de la base.

Demostración

El tensor de tensiones en mecánica de medios continuos asigna a cada superficie orientada un vector de fuerza por unidad de área y se representa por un tensor de segundo orden cuyas componentes se transforman bajo rotaciones y cambios de coordenadas según reglas tensoriales; el tensor métrico es otro ejemplo estándar de segundo orden que define longitudes y ángulos.

Aplicación incorrecta

Tratar cualquier arreglo multidimensional como un tensor sin verificar la ley de transformación, o confundir tensores con arreglos cuyas componentes se mezclan bajo cambio de coordenadas de forma no tensorial (por ejemplo, los símbolos de Christoffel no son tensores).

Consecuencia

El uso correcto de objetos tensoriales produce afirmaciones y invariantes independientes de las coordenadas, permitiendo formular leyes físicas y relaciones geométricas válidas en cualquier sistema de coordenadas admisible.

Inversión

Considerar la misma cantidad multiíndice solo como un arreglo fijo en un sistema de coordenadas hace perder el significado geométrico y la invariancia, volviendo las relaciones contingentes al sistema de coordenadas elegido en lugar de propiedades intrínsecas.

Límite

La noción de tensor excluye objetos que no se transforman tensorialmente (densidades y pseudotensores requieren calificación explícita) y exige la especificación del tipo (rango, covarianza/contravarianza) y de los espacios vectoriales o fibrados subyacentes.

Tensión semántica

Tensión con 'arreglo multidimensional' y con 'campo tensorial': un arreglo es un contenedor dependiente de coordenadas, mientras que un tensor es el objeto geométrico; un campo tensorial asigna un tensor punto por punto en una variedad e introduce consideraciones de suavidad y localidad.

Síntesis

Un tensor es la entidad multilineal e independiente de coordenadas definida por cómo sus componentes se transforman bajo cambio de base; unifica escalares, vectores y matrices en una jerarquía de objetos que codifican relaciones multilineales invariantes en álgebra y geometría.