Ein multilinear algebraisches Objekt, das Tupel von Vektoren und Kovektoren auf Skalare (oder andere Tensoren) abbildet und sich bei Koordinatenwechsel nach spezifischen tensorialen Transformationsgesetzen verhält; es verallgemeinert Skalare, Vektoren und Matrizen.

Prinzip

Tensoren sind durch Multilinearität und Transformationsregeln definiert: ihre Komponenten in einer Koordinatenbasis ändern sich durch Produkte der Koordinatentransformationsmatrizen, wodurch der Tensor eine unabhängige multilinarer Relation darstellt, die von der Basis unabhängig ist.

Demonstration

Der Spannungstensor in der Kontinuumsmechanik ordnet jeder orientierten Fläche eine Kraftvektor pro Flächeneinheit zu und wird durch einen Tensor zweiter Ordnung dargestellt, dessen Komponenten sich bei Rotation und Koordinatenwechsel gemäß Tensorregeln transformieren; der Metriktensor ist ein weiteres Standardbeispiel zweiter Ordnung, das Längen und Winkel definiert.

Fehlanwendung

Jedes mehrindizige Feld als Tensor zu behandeln, ohne das Transformationsverhalten zu prüfen, oder Tensoren mit Feldern zu verwechseln, deren Komponenten sich unter Koordinatenwechsel nicht tensorial mischen (z. B. sind Christoffelsymbole keine Tensoren).

Konsequenz

Die richtige Verwendung tensorialer Objekte führt zu koordinatenunabhängigen Aussagen und Invarianten und ermöglicht die Formulierung physikalischer Gesetze und geometrischer Relationen, die in jedem zulässigen Koordinatensystem gelten.

Umkehrung

Dasselbe mehrindizige Gebilde lediglich als festes Feld in einem Koordinatensystem zu betrachten, entzieht ihm die geometrische Bedeutung und Invarianz und macht Relationen abhängig von der gewählten Darstellung statt von intrinsischen Eigenschaften.

Abgrenzung

Der Begriff Tensor schließt Objekte aus, die sich nicht tensorial transformieren (Dichten, Pseudotensoren bedürfen expliziter Qualifikation) und verlangt die Spezifikation des Typs (Rang, Kovarianz/Kontravarianz) und der zugrunde liegenden Vektorräume oder Bündel.

Semantische Spannung

Spannung zu »mehrdimensionalem Array« und zu »Tensorfeld«: ein Array ist ein koordinatenabhängiger Container, während ein Tensor das geometrische Objekt ist; ein Tensorfeld weist an jedem Punkt einer Mannigfaltigkeit einen Tensor zu und führt zusätzliche Fragen der Glattheit und Lokalität ein.

Synthese

Ein Tensor ist das koordinatenunabhängige, multilineare Gebilde, bestimmt durch das Transformationsverhalten seiner Komponenten unter Basiswechsel; er vereinigt Skalare, Vektoren und Matrizen zu einer Hierarchie von Objekten, die in Algebra und Geometrie invariante multilineare Relationen kodieren.