Eine multiskalige lineare Transformation, die Signale oder Funktionen durch Überlagerung lokalisierter Basisfunktionen (Wavelets) darstellt, die durch Skalierung (Dilatation) und Verschiebung einer Mutterwavelet erzeugt werden; bietet Zeit-Frequenz-Lokalisierung und oft eine dünnbesetzte Darstellung für mehrskalige Phänomene.

Prinzip

Zerlegung der Daten in verschiedene Skalen mittels Basisfunktionen, die sowohl in Zeit (oder Raum) als auch in Frequenz lokalisiert sind; Nutzung einer verschachtelten Unterraumstruktur (Multiresolutionsanalyse), sodass grobe und feine Merkmale in unterschiedlichen Skalenkoeffizienten getrennt werden.

Demonstration

Bildkompression durch Zerlegung eines Bildes in Wavelet-Koeffizienten über mehrere Skalen, Thresholding kleiner Koeffizienten zur Rauschreduktion und Rekonstruktion aus wenigen großen Koeffizienten, wodurch hohe Kompression bei Erhalt der Kanten erreicht wird.

Fehlanwendung

Anwendung eines ungeeigneten Mother-Wavelets oder zu weniger Zerlegungsstufen auf Daten ohne Mehrskaligkeit, was Ringeffekte, Verlust wichtiger Merkmale oder irreführende Entstörungsartefakte erzeugen kann.

Konsequenz

Bei korrekter Anwendung führt sie zu dünnbesetzten Koeffizienten, ermöglicht ebenenskalige Rauschunterdrückung und Merkmalsextraktion und unterstützt schnelle Algorithmen (z. B. diskrete Wavelet-Transformation) für große Datenmengen.

Umkehrung

Die Verwendung einer globalen sinusförmigen Basis wie der Fourier-Transformation (globale, unendlich gestützte Sinus- und Kosinusfunktionen), die Frequenzbetonung gegenüber räumlicher/zeitlicher Lokalisierung priorisiert und lokale Informationen verliert.

Abgrenzung

Gilt für quadratintegrable Signale oder diskret abgetastete Daten mit sinnvoller Skalenstruktur; kontinuierliche und diskrete Varianten unterscheiden sich in Implementierung und Annahmen; nicht geeignet für rein weißes Rauschen ohne Skalenstruktur.

Semantische Spannung

Spannung zur Fourier-Analyse: Fourier liefert das globale Frequenzbild bei schlechter Lokalisation, Wavelets tauschen globale Spektralauflösung gegen lokale Zeit-Skalen-Auflösung; die Entscheidung richtet sich nach Signalstruktur und Analysezielen.

Synthese

Ein Rahmen zur Darstellung von Signalen durch lokalisierte, skalierte und verschobene Basisfunktionen, so dass mehrskalige Merkmale in getrennten, oft dünnbesetzten Koeffizienten erscheinen und effiziente Analyse, Kompression und Entstörung ermöglichen.