Ein Maß dafür, wie weit von der Hauptdiagonalen die bedeutenden Nicht-Null-Einträge eines diskreten linearen Operators (Matrix) konzentriert sind, üblicherweise quantifiziert als maximaler Abstand |i-j|, für den A(i,j) ungleich null ist (bzw. die Halb-Bandbreite bei symmetrischer Konvention).

Prinzip

Der Graph und die Anordnung der Freiheitsgrade bestimmen die Bandbreite: lokale Stencils oder geringe Element-Konnektivität erzeugen kleine Bandbreiten, und die Bandbreite steuert Speicherlayout, Fill-In-Verhalten bei Faktorisierung und die Komplexität bestimmter direkter Löser.

Demonstration

Eine eindimensionale Finite-Differenzen-Disretisierung zweiter Ordnung mit nächstnachbarlicher Kopplung führt zu einer tridiagonalen Matrix mit Bandbreite 1 (Halb-Bandbreite 1), während eine naive globale Nummerierung eines mehrdimensionalen Netzes die Bandbreite und damit die Kosten der LU-Faktorisierung erhöhen kann.

Fehlanwendung

Bandbreite als einzigen Prädiktor für Löserkosten verwenden, ohne Unregelmäßigkeiten im Sparsitätsmuster, Fill-In bei Faktorisierung oder Effekte von Umordnungen und Blockstruktur zu berücksichtigen; oder Bandbreitenoptimierung zulasten paralleler Kommunikationsmuster betreiben.

Konsequenz

Geringe Bandbreite ermöglicht kompakten bandbasierten Speicher, effiziente bandbasierte direkte Löser und reduziertes Fill-In; das Erkennen und Reduzieren der Bandbreite durch Umordnungen (z. B. Reverse Cuthill–McKee) kann die Faktorisierungskosten deutlich senken.

Umkehrung

Volle Breite oder globale Kopplung, bei der signifikante Einträge weit von der Diagonalen auftreten, was zu großer Bandbreite und der Notwendigkeit dichter Speicher- oder faktorisierungsintensiver Methoden führt.

Abgrenzung

Bezieht sich speziell auf die geometrische Distanz zur Diagonalen im Matrix-Indexraum und schließt andere als 'Bandbreite' bezeichnete Begriffe (Signalbandbreite, Kommunikationsbandbreite) aus, sofern der Kontext nicht die lineare Algebra diskreter Systeme ist.

Semantische Spannung

Es besteht eine Spannung zwischen Bandbreite und feineren Sparsitätskennzahlen (Profil, Hülle, Größes von Graphentrennern): Bandbreite ist eine einfache skalare Zusammenfassung, die jedoch kritische Mustereigenschaften verbergen kann, die die algorithmischen Kosten bestimmen.

Synthese

Bandbreite ist das Maß des diagonalen Abstands der Nicht-Null-Konzentration in einem diskreten linearen Operator; sie lenkt Speicher- und Löserentscheidungen und ist durch Umordnung reduzierbar, muss aber zusammen mit der kompletten Sparsitätsstruktur betrachtet werden, um Leistung vorherzusagen.