Die künstliche Veränderung der Phasengeschwindigkeiten und Dispersionsrelationen von Wellen, die durch ein numerisches Schema eingeführt wird und Phasenfehler sowie fehlerhafte Ausbreitung von Wellenpaketen gegenüber dem kontinuierlichen Modell verursacht; zu unterscheiden von numerischer Dissipation, welche Amplituden dämpft.

Prinzip

Das diskrete Stencil oder der Zeitintegrator verändert die kontinuierliche Dispersionsrelation; Fourier- oder modifizierte-Gleichungs-Analysen zeigen, wie die diskrete Phasengeschwindigkeit von Frequenz und Gitterauflösung abhängt und frequenzabhängige Phasenverzögerungen oder -vorsprünge erzeugt.

Demonstration

Bei Finite-Difference-Approximationen der linearen Wellengleichung bewegt sich eine kurzwellige Komponente mit einer diskreten Phasengeschwindigkeit, die von der kontinuen abweicht; ein aus vielen Frequenzen zusammengesetzter Impuls verzerrt sich über die Zeit, wenn sich Komponenten phasenmäßig trennen.

Fehlanwendung

Amplitudeverlust hoher Frequenzen ausschließlich der numerischen Dispersion zuzuschreiben ist falsch; Dissipationsmechanismen (künstliche Viskosität, Upwinding, Filter) oder Aliasing können stattdessen verantwortlich sein und müssen diagnostisch unterschieden werden.

Konsequenz

Numerische Dispersion führt zu akkumulierten Phasenfehlern bei langen Zeiten und Distanzen, was zu falschen Ankunftszeiten, spürbaren Artefakten oder Wellenformverzerrungen führt; das Verständnis der Dispersion ist entscheidend für die Konstruktion hochpräziser Schemata und Gitterauflösungen.

Umkehrung

Das Gegenstück ist eine dispersionsfreie (oder spektral getreue) Diskretisierung, bei der die diskrete Phasengeschwindigkeit über das aufgelöste Band mit der kontinuierlichen übereinstimmt, oft erreicht durch hochordentliche Schemata oder dispersi-onsrelationstreue Methoden.

Abgrenzung

Betrifft wellenartige und oszillatorische Phänomene, bei denen Phasengeschwindigkeit relevant ist; beschreibt nicht sinnvoll rein diffusive Probleme, obwohl Analoga (numerische Dispersion von Moden) in gemischt hyperbolisch–parabolischen Systemen auftreten können.

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen Dispersion und Dissipation: Schemata, die Dispersionsfehler reduzieren, erhöhen mitunter die Dissipation und umgekehrt; Kompromisse zeigen sich in der Wahl von Stencils, Limitern und Filterstrategien.

Synthese

Numerische Dispersion ist die frequenzabhängige Phasendistorsion durch Diskretisierung: Die Analyse der modifizierten Dispersionsrelation erklärt, wie Ordnung und Gitterabstand eines Schemas die Phasengenauigkeit steuern und informiert das Design bzw. die Auswahl von Verfahren für Wellenausbreitungsprobleme.