Eine binäre Relation oder mehrwertige Abbildung zwischen Elementen zweier Mengen, die Elemente paarweise verbindet, ohne Einzigartigkeit wie bei einer Funktion zu verlangen; formal eine Teilmenge R ⊆ A × B oder eine Zuordnung, die jedem a ∈ A eine Teilmenge R(a) ⊆ B zuweist.

Prinzip

Verbindungen durch zulässige Paarungen beschreiben statt durch eindeutig-wertige Zuordnungen: die Zugehörigkeit zu geordneten Paaren bestimmt die Relation und ihre Operationen (Komposition, Umkehr, Einschränkung).

Demonstration

Sei A die Menge der Personen und B die Menge der Telefonnummern; die Korrespondenz R ⊆ A × B ordnet jeder Person alle von ihr verwendeten Nummern zu, also ist R(a) die Menge der Nummern dieser Person. Die Komposition von R mit einer Relation S von Nummern zu Anbietern ergibt, welche Personen welchen Anbieter nutzen.

Fehlanwendung

Eine allgemeine Korrespondenz wie eine Funktion behandeln und annehmen, jedes a ∈ A habe höchstens ein b ∈ B; das führt zu falschen Schlüssen über Umkehrbarkeit, Eindeutigkeit oder Lösbarkeit von Paarungen.

Konsequenz

Erlaubt die natürliche Modellierung von Viele-zu-Viele-Beziehungen; unterstützt Operationen wie Umkehrrelation und relationale Komposition und kann zwangsläufig nondeterministische Einschränkungen darstellen.

Umkehrung

Das Umgekehrte ist eine eindeutig-wertige Funktion oder Bijektion: Beschränkt man die Korrespondenz auf den Graphen einer Funktion oder wählt für jedes a ein einzelnes Repräsentanten, wird sie zur Funktion.

Abgrenzung

Gilt für beliebige Mengen A und B und verlangt keine algebraische Struktur; ausgeschlossen sind Kontexte, die Eindeutigkeit (Funktionen), gerichtete Wahrscheinlichkeiten oder Maße verlangen, sofern keine zusätzliche Struktur eingeführt wird.

Semantische Spannung

Steht im Spannungsfeld zur Funktion: Beide paaren Elemente von Definitions- und Zielmenge, aber die Funktion erzwingt Einwertigkeit, während die Korrespondenz Vielfältigkeit und Nondeterminiertheit erlaubt.

Synthese

Eine Korrespondenz ist die allgemeine Auffassung einer Paarung zwischen Mengen durch Zugehörigkeit zu geordneten Paaren oder Zuordnung von Zielmengen; sie verallgemeinert Funktionen und nutzt relationale Algebra (Umkehr, Komposition), um nondeterministische oder Viele-zu-Viele-Verknüpfungen auszudrücken.