Ein Punkt im Definitionsbereich einer reellen (oder eindimensionalen) Funktion, an dem beide einseitigen Grenzwerte existieren und endlich, aber ungleich sind, wodurch ein endlicher 'Sprung' in den Funktionswerten an diesem Punkt entsteht.

Prinzip

Eine Sprungdiskontinuität tritt auf, wenn lim_{x→a^-} f(x) und lim_{x→a^+} f(x) jeweils als endliche Zahlen existieren, aber voneinander abweichen; die Funktion mag in a definiert oder nicht definiert sein, doch ohne übereinstimmende einseitige Grenzwerte ist Stetigkeit durch Umdefinieren nicht erreichbar.

Demonstration

Die Heaviside-Stufenfunktion H(x), definiert durch H(x)=0 für x<0 und H(x)=1 für x>0, zeigt bei x=0 eine Sprungstetigkeitsstelle, weil der Linksgrenzwert 0 und der Rechtsgrenzwert 1 ist und diese nicht übereinstimmen.

Fehlanwendung

Eine Sprungstetigkeitsstelle als hebbar zu bezeichnen und den Punkt auf einen Zwischenwert zu setzen ignoriert die gerichteten Grenzwerte und stellt die Stetigkeit nicht auf beiden Seiten wieder her; ebenso verkennt die Einordnung als unendliche Diskontinuität die Integrabilität.

Konsequenz

Eine Sprungdiskontinuität bedeutet beschränktes, aber unstetiges Verhalten am Punkt; viele Integrale bleiben definiert (Riemann oder Lebesgue), während punktweise Operationen wie Differentiation an der Sprungstelle versagen und distributionelle Beschreibungen eingesetzt werden können.

Umkehrung

Sind die einseitigen Grenzwerte gleich, so ist die Diskontinuität hebbar; sind eine oder beide einseitigen Grenzwerte unendlich oder nicht vorhanden, so liegt eine unendliche oder essentielle Diskontinuität vor — das sind die logischen Gegensätze zum Sprung.

Abgrenzung

Der Begriff gilt hauptsächlich für reellwertige Funktionen einer reellen Variablen oder entlang eines gerichteten Pfads; in mehreren Dimensionen oder im Komplexen hängen gerichtete Grenzwerte vom Annäherungsweg ab und das Konzept muss verfeinert werden.

Semantische Spannung

Unterscheide Sprungdiskontinuität von hebbarer Diskontinuität (beim Umdefinieren wird Stetigkeit wiederhergestellt) und von unendlicher Diskontinuität (mit unbeschränktem Verhalten); der Sprung liegt dazwischen, da die einseitigen Grenzen endlich, aber verschieden sind.

Synthese

Eine Sprungstetigkeitsstelle ist eine endliche Differenz der Links- und Rechtsgrenzwerte an einem Punkt in einer eindimensionalen Domäne, die einen beschränkten, aber unstetigen Sprung erzeugt und differenziationsrelevante sowie integrative Konsequenzen hat.