Ein formales Resultat, wonach keine hinreichend ausdrucksstarke formale Sprache (etwa solche, die elementare Arithmetik darstellen kann) eine Formel enthalten kann, die das Wahrheitsprädikat für Sätze derselben Sprache korrekt und einheitlich definiert.

Prinzip

Wenn eine Sprache ihre eigene Syntax kodieren und grundlegende Arithmetik ausführen kann, führen Versuche, 'Wahrheit' innerhalb der Sprache zu definieren, durch selbstreferenzielle Konstruktionen an eine Barriere, die eine konsistente, totale Wahrheitsformel verhindert.

Demonstration

In der ersten Ordnung der Arithmetik zeigt man, dass bei Annahme einer Formel Wahr(x), die genau für Gödelnummern wahrer Sätze gelten sollte, das Diagonallemma einen Satz liefert, der in Bezug auf Wahr von seiner eigenen Falschheit behauptet und so einen Widerspruch erzeugt.

Fehlanwendung

Zu behaupten, der Satz verbiete jede interne Rede von Wahrheit und damit den Gebrauch einer Metasprache; oder anzunehmen, er gelte bereits für schwache Sprachen (z. B. Aussagenlogik), die die notwendige syntaktische Kodierung nicht leisten können.

Konsequenz

Die Folge ist die Notwendigkeit, Wahrheit in einer reicheren Metasprache zu behandeln oder geschichtete Wahrheitsprädikate bzw. Sprachhierarchien zu verwenden statt eines einzigen internen Wahrheitsprädikats.

Umkehrung

Könnte eine Sprache ihr volles Wahrheitsprädikat intern ohne Widerspruch definieren, würden viele Standardargumente zu Unvollständigkeit und Undefinierbarkeit versagen und die Trennung von Objektsprache und Metasprache zusammenbrechen.

Abgrenzung

Gilt für Sprachen, die Arithmetisierung und hinreichende Selbstbezüglichkeit erlauben (z. B. Peano-Arithmetik). Nicht anwendbar auf endliche aussagenlogische Sprachen oder Fragmente ohne Darstellbarkeit der Gödelkodierung.

Semantische Spannung

Spannung besteht zwischen dem intuitiven semantischen Begriff der Wahrheit (eine globale Eigenschaft von Sätzen) und dem formalen Begriff der Definierbarkeit innerhalb einer Sprache; Wahrheit lässt sich nicht vollständig intern erfassen, während Beweisbarkeit intern darstellbar sein kann.

Synthese

Tarskis Satz markiert eine grundlegende Grenze: Sprachen, die ihre eigene Syntax ausdrücken können, können kein vollständiges, korrektes Wahrheitsprädikat intern liefern, weshalb Metasprache oder eingeschränkte Wahrheitsbegriffe nötig sind.