Eine Spezifikation des nichtlogischen Vokabulars einer formalen Sprache: eine Menge von Symboldeklarationen einschließlich Konstantensymbolen, Funktionssymbolen mit Aritäten und Relationssymbolen mit Aritäten, die die syntaktischen Bausteine festlegen, die zum Bilden von Termen und atomaren Formeln zur Verfügung stehen.

Prinzip

Eine Signatur legt das Vokabular und die Aritäten der Sprache fest, sodass Strukturen genau diese Symbole interpretieren; semantische und syntaktische Begriffe (Strukturen, Homomorphismen, Theorien, Formeln) werden relativ zu einer gewählten Signatur definiert und ändern sich, wenn sich die Signatur ändert.

Demonstration

Eine typische arithmetische Signatur Σ = {0 : Konstante, s : eindimensionale Funktion, + : binäre Funktion, × : binäre Funktion} legt fest, dass Terme aus 0 und Anwendungen von s, +, × gebildet werden und dass Modelle für Σ Interpretationen dieser Symbole über einer Domäne bereitstellen müssen.

Fehlanwendung

Die Signatur mitten im Beweis zu ändern oder stillschweigend Symbole hinzuzufügen, ohne deren Aritäten festzuhalten; die Signatur mit einer Theorie verwechseln, indem Axiome als Teil der Signatur behandelt werden; oder Bedeutungen von Symbolen über verschiedene Signaturen hinweg ohne Übersetzung anzunehmen.

Konsequenz

Die Festlegung einer Signatur ermöglicht präzise Definitionen von Strukturen, Morphismen und Erfüllung; sie steuert, welche Ausdrücke und Eigenschaften überhaupt ausdrückbar sind und bildet die Grundlage für Vergleiche zwischen Modellen und Transferresultate (z. B. Homomorphismen, Einbettungen, Redukte und Erweiterungen).

Umkehrung

Eine Theorie ist die Umkehr: Sie besteht aus Axiomen, die in einer Sprache über einer Signatur formuliert sind; eine Theorie schränkt die Klasse der Modelle für eine gegebene Signatur ein oder erweitert sie, ändert jedoch nicht die primitiven Symbole, es sei denn, die Signatur wird geändert.

Abgrenzung

Signaturen betreffen nur nichtlogische Symbole und Aritäten; sie schließen logische Junktoren, Quantoren und metalogische Mittel aus, obwohl viele‑sortige Signaturen, typisierte Signaturen oder Signaturen mit zusätzlicher syntaktischer Struktur explizite Generalisierungen darstellen.

Semantische Spannung

Spannung zwischen 'Signatur' und 'Sprache' oder 'Vokabular' in informeller Verwendung: Signatur ist die formale Deklaration von Symbolen und Aritäten, während 'Sprache' auch Regeln zur Formbildung und logische Symbole umfassen kann; eine weitere Spannung besteht zwischen festen und erweiterbaren Signaturen in modularen Spezifikationen.

Synthese

Eine Signatur ist die formale Auflistung von Konstanten-, Funktions‑ und Relationssymbolen mit festgelegten Aritäten, die die zulässigen primitiven Ausdrücke einer formalen Sprache definiert; sie bildet den Rahmen zum Aufbau von Termen, zum Formulieren von Formeln und zur Interpretation von Strukturen und Abbildungen.