Eine Beweismethode, die die Wahrheit einer Aussage P dadurch herstellt, dass man ihre Negation ¬P annimmt und einen Widerspruch ableitet; aus diesem Widerspruch schließt man, dass P gelten muss (häufig als reductio ad absurdum oder Widerspruchsbeweis in der klassischen Logik bezeichnet).

Prinzip

Wenn die Annahme von ¬P zusammen mit den akzeptierten Prämissen zu einem expliziten Widerspruch führt, dann folgt P; symbolisch: (Prämissen ∪ {¬P}) ⊢ ⊥ impliziert Prämissen ⊢ P im klassischen Schließen.

Demonstration

Um zu zeigen, dass √2 irrational ist, nimmt man das Gegenteil an, nämlich √2 = p/q in gekürzter Form, und leitet einen arithmetischen Widerspruch bezüglich Parität ab, womit durch indirekten Beweis die Irrationalität von √2 folgt.

Fehlanwendung

Die Anwendung des indirekten Beweises in Systemen, die das Ausschlussprinzip ablehnen (z. B. konstruktive oder intuitionistische Logiken), um Existenz ohne Zeugen zu behaupten; oder die Verwechslung einer abgeleiteten Inkonsistenz mit einem bloß unwahrscheinlichen Ergebnis.

Konsequenz

Ermöglicht viele klassisch gültige Beweise, wenn direkte Konstruktionen schwierig oder unbekannt sind; liefert oft endgültige Resultate, kann aber nicht-konstruktiv hinsichtlich Zeugen oder Algorithmen sein.

Umkehrung

Die Umkehr ist die direkte Beweismethode: P konstruktiv aus den Prämissen herleiten, ohne ¬P anzunehmen und einen Widerspruch zu erzeugen.

Abgrenzung

Vollständig gültig in der klassischen Logik; eingeschränkt oder anders zu interpretieren in konstruktiven, intuitionistischen oder minimalen Logiken, in denen ¬¬P ⇒ P nicht allgemein akzeptiert wird und Existenzforderungen Zeugen erfordern.

Semantische Spannung

Es besteht eine Spannung zwischen reductio und konstruktiven Beweisen: reductio akzeptiert nicht-konstruktive Existenz durch Widerspruch, während der Konstruktivismus explizite Konstruktionen verlangt, sodass dasselbe Ergebnis in einem Rahmen akzeptiert wird und in einem anderen nicht.

Synthese

Prinzip Des Indirekten Beweises: ein klassisches Verfahren, das Aussagen beweist, indem es zeigt, dass ihre Negationen zu Widersprüchen führen; mächtig für nicht-konstruktive Schlussfolgerungen, jedoch abhängig von der Akzeptanz klassischer Inferenzmuster.