Eigenschaft eines Satzes (Formel ohne freie Variablen), dass er in jeder zulässigen Interpretation oder Bewertung der Logik wahr ist; ein Satz, der in allen Modellen gilt, ist gültig (logische Wahrheit).

Prinzip

Gültigkeit erfordert universelle Wahrheit über die von der Semantik vorgegebene Modellklasse: Ein gültiger Satz kann durch keine zulässige Struktur oder Zuweisung falsifiziert werden.

Demonstration

In der Aussagenlogik ist p ∨ ¬p gültig, weil jede Wahrheitszuweisung ihn wahr macht; in der Prädikatenlogik ist ∀x (P(x) → P(x)) in Standardsemantik gültig, da er in jeder Struktur wahr ist.

Fehlanwendung

Einen Satz für gültig zu halten, weil er in einem speziellen Beweissystem ableitbar ist, ohne die Korrektheit (Soundness) zu prüfen: Ein System kann Sätze ableiten, die semantisch nicht gültig sind, falls es unsound ist, oder es kann gültige Sätze nicht ableiten, wenn es unvollständig ist.

Konsequenz

Ist ein Satz gültig, so ist er eine logische Gewissheit und kann als Prämisse verwendet werden, ohne semantisches Risiko einzuführen; Gültigkeit unterstützt Abstraktion und Verallgemeinerung von Theoremen.

Umkehrung

Das Gegenteil von Gültigkeit ist Falsifizierbarkeit oder Kontingenz: Ein kontingenter Satz ist in manchen Modellen wahr und in anderen falsch; Erfüllbarkeit ist schwächer — Gültigkeit impliziert, dass ihre Negation unerfüllbar ist.

Abgrenzung

Gültigkeit ist relativ zur Semantik und zur Signatur (Sprache) — das Hinzufügen nichtlogischer Axiome oder das Ändern von Domänenbedingungen (z. B. endliche Modelle) kann die Gültigkeit eines Satzes in dieser Theorie verändern.

Semantische Spannung

Gültigkeit vs Theoremhood: Gültigkeit ist semantisch (Wahrheit in allen Modellen), Theoremhood ist syntaktisch (Ableitbarkeit in einem Beweissystem); Vollständigkeit verbindet beides, praktische Unterschiede bleiben jedoch für automatisiertes Schließen relevant.

Synthese

Gültigkeit bezeichnet Sätze, die in allen zulässigen Modellen universal wahr sind; sie ist die semantische Vorstellung logischer Wahrheit, die allgemeine Theoreme und sichere Inferenzschritte untermauert.