Eine endliche, geordnete Folge von Formeln in einem formalen System, wobei jede Formel entweder ein Axiom ist oder sich mittels einer zulässigen Inferenzregel aus vorhergehenden Formeln ableitet, und die Folge mit der zu beweisenden Formel endet.

Prinzip

Ein Beweis formalisiert die Begründung, dass eine Aussage innerhalb eines gewählten Axiomensystems und Inferenzregelwerks ableitbar ist; Endlichkeit und Regelkonformität sind wesentlich, um die Behauptung zu sichern.

Demonstration

In der Aussagenlogik ist ein einfacher Beweis von B aus den Annahmen A→B und A: (1) A→B (Annahme), (2) A (Annahme), (3) B (aus 1 und 2 durch Modus Ponens). Diese dreistufige endliche Folge ist ein Beweis von B im gegebenen System.

Fehlanwendung

Überzeugende oder probabilistische Argumente als formalen Beweis auszugeben; kreisförmiges Schließen, wenn die behauptete Beweisaussage selbst als unbewiesene Annahme verwendet wird; sich auf nicht formalisierte Schritte zu berufen, die im Regelwerk nicht begründet sind.

Konsequenz

Ein korrekter Beweis liefert ein Zertifikat der Ableitbarkeit: in einem sounden formalen System garantiert er die semantische Gültigkeit der bewiesenen Formel gegenüber der Systems-Semantik und ist mechanisch oder von Kollegen prüfbar.

Umkehrung

Statt eine Aussage herzuleiten, kann man eine Widerlegung konstruieren (einen Beweis ihrer Negation) oder ein Gegenmodell angeben; die Umkehr zeigt Nicht-Ableitbarkeit oder Inkonsistenz auf.

Abgrenzung

Gilt nur für endliche Folgen, die gemäß eines spezifizierten formalen Systems gebildet werden; schließt empirische Demonstrationen, unendliche Ableitungen, nicht auf Regeln reduzierbare informelle Erklärungen und metatheoretische Argumente außerhalb des Systems aus.

Semantische Spannung

Spannungen bestehen zwischen dem ‚Beweis‘ als strengem syntaktischem Zertifikat und dem informellen mathematischen Beweisbegriff, der Intuition, Diagramme und rhetorische Elemente einbezieht; beide verfolgen Rechtfertigung, unterscheiden sich jedoch in Strenge und Prüfbarkeit.

Synthese

Ein Beweis ist eine endliche, reglementierte syntaktische Konstruktion in einem festgelegten formalen System, die Axiome und Prämissen in eine geschlossene Formel überführt und so eine überprüfbare Garantie der Ableitbarkeit liefert.