Eine skalare, vektorielle oder tensorielle Größe, deren Wert (lokal oder in integrierter Form) entlang exakter Lösungen einer Evolutionsgleichung oder eines dynamischen Systems konstant bleibt, also unter der durch das System definierten Zeitentwicklung invariant ist.

Prinzip

Erhaltungsgrößen drücken Invarianzen der Dynamik aus: Sie entstehen entweder aus Symmetrien (z. B. durch Noether-artige Zusammenhänge in variationalen Systemen) oder aus Bilanzgesetzen und implizieren Einschränkungen, die die erreichbaren Zustände des Systems im Zeitverlauf begrenzen.

Demonstration

In einem autonomen Hamiltonschen System ist die Gesamtenergie entlang von Trajektorien erhalten; in Kontinuumsmodellen führt eine Kontinuitätsgleichung zur Masseerhaltung, ausgedrückt als eine erhaltene Gesamtintegralgröße einer Dichte über ein materielles Gebiet, sofern keine Quellen oder Senken vorhanden sind.

Fehlanwendung

Eine numerisch nur approximativ erhaltene Größe als exakt erhalten anzusehen oder die Erhaltung in Diskretisierungen anzunehmen, die keine diskreten Erhaltungsgesetze bewahren, führt zu falschen Schlussfolgerungen; das Verwechseln einer erhaltenen Dichte mit einer erhaltenen integrierten Größe ohne Prüfung von Randflüssen ist ein häufiger Fehler.

Konsequenz

Eine exakte Erhaltungsgröße reduziert die effektiven Freiheitsgrade, induziert invariante Mannigfaltigkeiten und erste Integrale, ermöglicht Reduktion und manchmal Integrabilität und schränkt die langfristige Dynamik und zulässige Zustandsübergänge ein.

Umkehrung

Das Brechen der Erhaltung durch äußere Anregung, Dissipation oder nichtkonservative Terme verwandelt eine Erhaltungsgröße typischerweise in eine zeitlich driftende Größe; der Verlust der Erhaltung erzeugt häufig Attraktoren oder irreversible Verhaltensweisen, die im konservativen Fall fehlen.

Abgrenzung

Erhaltung ist für exakte Lösungen deterministischer Evolutionsgleichungen definiert; stochastische Systeme, offene Systeme mit Flüssen oder Modelle mit Quellen und Senken erfordern modifizierte Begriffe (Erhaltung im Erwartungswert, Bilanzgesetze mit Quelltermen) und besitzen möglicherweise keine strikten Erhaltungsgrößen.

Semantische Spannung

Zwischen „Erhaltungsgröße“ und „invarianter Maß“ oder „Integralinvariante“ besteht Spannung: Ein entlang von Trajektorien erhaltenes skalares Integral ist nicht dasselbe wie ein invariantes Wahrscheinlichkeitsmaß im Phasenraum, obwohl beide Formen von Invarianz ausdrücken.

Synthese

Eine Erhaltungsgröße ist eine skalare/vektorielle/tensorielle Invariante entlang exakter Lösungen, die einer zugrundeliegenden Symmetrie oder Bilanz entspricht; sie beschränkt die Dynamik, ermöglicht Reduktionen und ist von approximativen, diskret erhaltenen oder statistischen Invarianzen zu unterscheiden.