Une théorie du premier ordre est complète si pour toute phrase de son langage soit la phrase, soit sa négation est entraînée par la théorie ; équivalemment, tous les modèles de la théorie sont élémentairement équivalents et la théorie décide toutes les phrases du langage.

Principe

La complétude d'une théorie supprime l'indécision propositionnelle dans son langage : aucune phrase n'est laissée non déterminée par les axiomes, la théorie partitionne ainsi l'espace des phrases entre celles qu'elle entraîne et celles qu'elle réfute, fournissant une détermination syntaxique maximale donnée le langage.

Démonstration

La théorie des ordres linéaires denses sans bornes est complète : toute phrase dans le langage des ordres est soit démontrable soit réfutable à partir des axiomes, donc tous les ordres linéaires denses dénombrables sans bornes sont élémentairement équivalents. Autre exemple : la théorie complète des corps algébriquement clos de caractéristique fixée (avec contrôle des paramètres appropriés).

Mauvaise application

Confondre la complétude d'une théorie avec la décidabilité ou la saturation des modèles : une théorie peut être complète mais indécidable (pas d'algorithme pour décider l'appartenance), et la complétude n'assure pas que les modèles réalisent tous les types possibles (saturation) ; confondre ces notions conduit à des attentes incorrectes sur le calcul ou la richesse des modèles.

Conséquence

Une théorie complète fournit une classification nette des phrases et implique que deux modèles satisfaisant la théorie satisfont exactement les mêmes phrases du premier ordre ; cela facilite le transfert de propriétés de premier ordre et simplifie les problèmes de classification centrés sur l'équivalence élémentaire.

Inversion

Une théorie incomplète laisse des phrases ni démontrables ni réfutables, produisant des distinctions non triviales entre modèles (inégalité élémentaire) et permettant des extensions indépendantes ou des complétions différentes ; l'incomplétude est une ressource pour construire des modèles divers et capturer des phénomènes sous‑spécifiés.

Limite

La complétude est relative au langage choisi et à l'ensemble d'axiomes : élargir le langage ou affaiblir/renforcer les axiomes peut rompre ou créer la complétude ; elle est strictement syntaxique/sémantique en logique du premier ordre et n'aborde pas en soi l'expressivité du second ordre ou la décidabilité méta‑théorique.

Tension sémantique

Tension entre complétude et décidabilité (contrôle algorithmique) : la complétude assure que chaque phrase est décidée sémantiquement par la théorie mais ne garantit pas une procédure effective pour décider l'appartenance ; de plus, la complétude peut s'opposer à la flexibilité nécessaire pour certaines constructions de modèles.

Synthèse

Une théorie complète ne laisse aucune phrase du premier ordre indécise : elle assure un comportement élémentaire uniforme de ses modèles et donne une détermination syntaxique maximale dans le langage choisi tout en restant distincte de la décidabilité algorithmique et des propriétés de saturation des modèles.