Une relation mettant en lien les actions de groupes finis sur des espaces vectoriels complexes (notamment les sous-groupes finis de SL(2,C) et leurs analogues) avec des invariants géométriques et représentationnels des singularités quotient et de leurs résolutions, en associant souvent des représentations irréductibles aux composantes d'une résolution ou à des objets de catégories dérivées.

Principe

L'idée centrale associe des données algébriques (représentations irréductibles du groupe) à des données géométriques (diviseurs exceptionnels, composantes de la résolution, ou objets dans des catégories dérivées) de sorte que les multiplicités et la combinatoire de la représentation reflètent les structures d'intersection et cohomologiques de la résolution.

Démonstration

En dimension deux, un sous-groupe fini de SL(2,C) donne une singularité quotient C2/G dont la résolution minimale possède un diviseur exceptionnel dont le graphe dual est un diagramme de Dynkin ADE ; les nœuds correspondent aux représentations irréductibles non triviales de G, illustrant la correspondance classique de McKay.

Mauvaise application

Prétendre que la correspondance 1-avec-1 la plus simple vaut sans modifications en dimension supérieure ou pour des actions ne préservant pas le volume (hors SL), ou traiter des résolutions non crepantes comme si elles respectaient le même appariement ; de telles extensions naïves échouent généralement ou exigent des enrichissements de catégories dérivées.

Conséquence

Fournit un pont entre la théorie des représentations de groupes et la géométrie algébrique : les invariants de représentation éclairent la géométrie des résolutions et réciproquement, conduisant à des classifications de singularités, des calculs de cohomologie et des perspectives utilisées dans des mathématiques inspirées par la théorie des cordes.

Inversion

Du côté géométrique, des caractéristiques d'une résolution crépante (locus exceptionnel, matrice d'intersection, générateurs de la catégorie dérivée) peuvent servir à reconstruire ou étiqueter des représentations du groupe agissant, convertissant des invariants géométriques en données de représentation.

Limite

Mieux comprise en basse dimension (classiquement en dimension deux) et dans des contextes avec résolutions crépantes ou minimales ; en dimensions supérieures ou pour des situations non crépantes la correspondance doit être affinée (par exemple via des catégories dérivées ou des résolutions non commutatives).

Tension sémantique

Tension entre la version classique en graphes ADE et les reformulations modernes en catégories dérivées ou non commutatives ; il est délicat de savoir si la correspondance est littérale (nœud ↔ représentation) ou catégorielle (équivalence de catégories dérivées).

Synthèse

La correspondance de McKay relie les données de représentation d'un groupe fini à la géométrie des singularités quotient et de leurs résolutions en identifiant les représentations avec des pièces géométriques ou des générateurs catégoriels, traduisant ainsi la structure algébrique en informations géométriques et cohomologiques concrètes.