Un théorème ou une assertion par suite spectrale qui exprime l'homologie ou la cohomologie d'un produit d'espaces en termes des homologies ou cohomologies des facteurs, conduisant en général à un isomorphisme de Künneth sous des hypothèses de platitude ou de coefficients sur un corps, et à des termes Tor de correction sinon.

Principe

Le mécanisme organisateur est le produit tensoriel des complexes de chaînes et la suite spectrale de Künneth issue de la filtration du produit tensoriel ; lorsque les termes Tor disparaissent (par exemple pour des coefficients dans un corps ou des modules plats) la suite spectrale s'effondre en une formule par produit tensoriel.

Démonstration

Cas standard : pour l'homologie singulière à coefficients dans un corps k, H_*(X×Y; k) ≅ H_*(X; k) ⊗_k H_*(Y; k) ; avec des coefficients entiers il faut tenir compte des termes Tor conduisant à des suites exactes courtes plutôt qu'à des égalités directes par produit tensoriel.

Mauvaise application

Écrire H_*(X×Y; Z) = H_*(X; Z) ⊗ H_*(Y; Z) sans prendre en compte la torsion ou les contributions Tor, ou appliquer la formule dans des théories de (co)homologie où la platitude requise ou la propriété de Künneth font défaut.

Conséquence

Lorsqu'elle est applicable, la formule de Künneth réduit les calculs sur des produits aux calculs sur les facteurs, clarifie l'interaction de la torsion dans les produits et soutient les structures multiplicatives en (co)homologie.

Inversion

La réciproque pratique est l'observation que l'échec de la décomposition tensorielle simple (présence de Tor non triviaux ou de termes d'extension) signale des phénomènes de torsion ou d'extension dans les facteurs qui doivent être résolus pour reconstruire l'(co)homologie du produit à partir des données des facteurs.

Limite

S'applique dans les théories classiques d'homologie/cohomologie sous des hypothèses telles que coefficients sur un corps, platitude ou projectivité des complexes de chaînes ; hors de ces hypothèses on doit utiliser la suite spectrale de Künneth complète et s'attendre à des termes de correction Tor et Ext, et certaines cohomologies généralisées n'admettent pas de théorème de Künneth.

Tension sémantique

La tension tient à l'opposition entre la « formule » simple H(X×Y)=H(X)⊗H(Y) familière sur les corps et l'énoncé plus précis par suite spectrale qui inclut des corrections Tor/Ext ; les praticiens doivent choisir d'accentuer la commodité de calcul ou la rigueur homologique complète.

Synthèse

La Formule de Künneth affirme que l'(co)homologie d'un produit se construit à partir des (co)homologies des facteurs via le produit tensoriel des complexes de chaînes, la suite spectrale de Künneth mesurant et résolvant les obstructions Tor/Ext à une décomposition tensorielle naïve.