Un foncteur intégral entre catégories dérivées bornées de faisceaux cohérents sur des variétés algébriques défini par un objet (le noyau) sur le produit, qui fournit souvent des équivalences et transporte l'information géométrique via les catégories dérivées.

Principe

La règle organisatrice est qu'un noyau sur X×Y définit un foncteur D^b(Coh(X)) → D^b(Coh(Y)) en tirant sur le produit, en tensorisant par le noyau puis en poussant en avant ; lorsque ce foncteur est une équivalence (ou pleinement fidèle), il encode une relation profonde entre les géométries de X et Y.

Démonstration

Exemple classique : le fibré de Poincaré sur A× induit l'équivalence de Fourier–Mukai entre les catégories dérivées d'une variété abélienne complexe A et de sa duale  ; d'autres démonstrations incluent des équivalences dérivées induites par des noyaux associés à des flopings ou à des espaces de modules de faisceaux stables.

Mauvaise application

Appliquer la recette push–pull en dehors du cadre dérivé ou avec des noyaux ne satisfaisant pas les conditions de finitude ou de platitude requises ; supposer que tout foncteur exact entre catégories dérivées provient d'un noyau de Fourier–Mukai sans vérifier la représentabilité (il existe des contre‑exemples en contexte non projectif).

Conséquence

Lorsqu'elle existe, une transformée de Fourier–Mukai transporte les invariants cohomologiques et catégoriels entre variétés, engendre des invariants dérivés de la géométrie birationnelle et sous-tend de nombreuses dualités et identifications de modules en géométrie algébrique.

Inversion

La transformée inverse (ou adjointe) est donnée par un noyau sur Y×X relié par dualité dérivée au noyau d'origine ; inverser échange les rôles de source et de cible et correspond géométriquement à la relation inverse entre les variétés lorsque l'on dispose d'une équivalence.

Limite

Formulation la plus robuste pour des variétés projectives lisses et les catégories dérivées bornées de faisceaux cohérents ; exige la propreté, la dimension de Tor finie et la finitude cohomologique appropriées pour les noyaux, et ne s'applique pas génériquement à des catégories triangulées quelconques ou à des contextes de faisceaux non cohérents.

Tension sémantique

La tension vient de l'emploi du terme « transformée » (suggérant une construction fonctorielle éventuellement non inversible) versus « équivalence » (une isomorphie catégorielle à double sens) : certains noyaux produisent des équivalences tandis que d'autres ne donnent que des foncteurs pleinement fidèles ou simplement d'intérêt, si bien que la terminologie masque une gamme de comportements.

Synthèse

La Transformée de Fourier–Mukai est la transformation intégrale dérivée définie par un noyau sur le produit de variétés ; sous des conditions de finitude et de dualité elle fournit des équivalences de catégories dérivées qui reflètent et relient les géométries algébriques sous-jacentes.