Un calcul pseudodifférentiel adapté aux variétés présentant des singularités coniques isolées, qui capture le comportement des opérateurs près du sommet du cône en combinant des symboles de type Mellin en la variable radiale et des symboles pseudodifférentiels sur la section (link) ; conçu pour construire des parametrix et décrire les propriétés de mappage sur des espaces de Sobolev pondérés.

Principe

Remplacer les développements symboliques standard près d'un point lisse par une combinaison de symboles Mellin radiaux et de symboles angulaires sur la section de sorte que le calcul respecte la symétrie de dilation du cône et encode les développements asymptotiques au sommet.

Démonstration

Pour un cône métrique exact (0,1)_r × Y avec un opérateur de type Laplacien, l'algèbre des cônes écrit l'opérateur comme r^{-2} fois une famille de Mellin dans le dual complexe de log r couplée à un opérateur sur la section Y ; cette formulation fournit des parametrix contrôlant les asymptotiques des solutions et les développements du résolvant.

Mauvaise application

Appliquer le calcul pseudodifférentiel standard en ignorant la structure conique près d'un sommet ; cela néglige des termes singuliers essentiels, donne des parametrix incorrects et échoue à capter le bon domaine ou les propriétés de Fredholm.

Conséquence

L'utilisation de l'algèbre des cônes permet d'obtenir des parametrix précis, des formules d'indice et des asymptotiques du résolvant pour les opérateurs elliptiques coniques, ainsi qu'une description claire des domaines dans des échelles de Sobolev pondérées ; elle traite aussi les spectres indicials et les données d'extension auto-adjointe.

Inversion

Sur une variété lisse sans singularités coniques, l'algèbre des cônes se réduit au calcul pseudodifférentiel standard ; inversement, si les singularités sont plus complexes (par exemple des arêtes), l'algèbre des cônes ne suffit pas et doit être remplacée par un calcul plus fin.

Limite

Destinée aux singularités coniques isolées ou aux voisinages coniques exacts ; elle exclut les arêtes ou cusps stratifiés où la géométrie exige le calcul d'arête ou des calculs cuspés et des décompositions symboliques différentes.

Tension sémantique

Voisine du b-calculus et du calcul d'arête ; la tension sémantique apparaît dans le choix du calcul le plus adapté à une géométrie singulière donnée, chaque cadre mettant l'accent sur un découpage variable (radial vs tangent) et sur des opérateurs modèles distincts.

Synthèse

L'algèbre des cônes est un cadre pseudodifférentiel sur mesure qui marie l'analyse de Mellin en direction radiale et la structure pseudodifférentielle angulaire sur la section, fournissant des parametrix et des résultats de mappage reflétant fidèlement les asymptotiques coniques.