Un opérateur différentiel dont le symbole principal cesse d'être uniformément positif (ou coercif) sur une région du domaine ou de la frontière — typiquement il s'annule, change de rang ou perd les estimations elliptiques sur un sous-ensemble — de sorte que les hypothèses d'ellipticité uniforme échouent.

Principe

L'ellipticité exige que le symbole principal soit inversible (ou définie positive dans le cas symétrique réel) de manière uniforme ; la dégénérescence est la perte locale ou globale de cette inversibilité ou coercivité, souvent classée par l'ordre et la géométrie de l'annulation du symbole et conduisant à un comportement anisotrope ou à poids.

Démonstration

Le modèle de type Grushin L = x^{α} ∂_x^2 + ∂_y^2 sur R^2 (α>0) dégénère en x=0 : le symbole principal s'annule le long de la ligne x=0 dans la direction x, les estimations elliptiques uniformes échouent et la régularité et la propagation deviennent anisotropes de part et d'autre de la dégénérescence.

Mauvaise application

Appliquer des estimations classiques de Schauder, Harnack ou Calderón–Zygmund en supposant l'ellipticité uniforme dans une région où le symbole principal s'annule conduit à des résultats erronés sur la régularité, des bornes a priori fausses et une mauvaise classification du comportement des solutions près de la dégénérescence.

Conséquence

La dégénérescence impose l'usage d'espaces de Sobolev ou Hölder à poids, des mises à l'échelle anisotropes, des arguments adaptés par barrières ou principe du maximum, et peut produire une régularité affaiblie, une non-unicité sur les ensembles dégénérés ou des phénomènes de concentration liés à la géométrie de l'annulation.

Inversion

La situation inverse est la récupération de l'ellipticité uniforme en restreignant aux régions éloignées de la dégénérescence, par régularisation qui élève le symbole au-dessus de zéro, ou par un changement de variables rendant le symbole principal coercif ; la théorie elliptique standard s'applique alors.

Limite

La notion couvre les opérateurs elliptiques linéaires et non linéaires dont le symbole principal perd son inversibilité sur des sous-ensembles (intérieurs ou sur la frontière) ; elle exclut les opérateurs uniformément elliptiques et les situations où seules les termes d'ordre inférieur sont singuliers sans affecter le symbole principal.

Tension sémantique

Il y a une tension avec l'hypoellipticité et les opérateurs sous-elliptiques : certains opérateurs elliptiques dégénérés sont néanmoins hypoelliptiques (régularisants) tandis que d'autres ne le sont pas ; il faut distinguer dégénérescence de l'ellipticité et sous-ellipticité/hypoellipticité.

Synthèse

Un opérateur elliptique dégénéré est un opérateur dont le symbole principal cesse d'être uniformément inversible sur une partie du domaine, exigeant une analyse à poids ou anisotrope et modifiant les conclusions de régularité et de compacité valables en situation uniformément elliptique.