Un tuple précisément spécifié composé d'un langage formel (symboles et règles de formation), d'un ensemble d'axiomes ou de schémas d'axiomes et de règles d'inférence déterminant comment des formules peuvent être déduites ; utilisé pour générer et manipuler des expressions formelles indépendamment de toute interprétation visée.

Principe

Séparation de la syntaxe et de la sémantique : spécifier des règles de formation et de déduction finies et vérifiables afin que les notions de preuve et de dérivabilité soient purement syntaxiques, permettant la vérification mécanique et l'étude méta-théorique de la cohérence, de l'exhaustivité et de la décidabilité.

Démonstration

L'arithmétique de Peano présentée comme système formel : un langage avec la constante 0 et le successeur S, des axiomes (zéro n'est pas successeur, schéma d'induction comme schéma d'axiomes) et des règles comme le modus ponens et la généralisation qui génèrent les théorèmes de la théorie uniquement par dérivation syntaxique.

Mauvaise application

Confondre le système formel avec ses interprétations sémantiques (traiter la dérivabilité comme identique à la vérité dans tous les modèles), ou ajouter des règles sémantiques informelles aux règles de preuve formelles, sapent la clarté sur ce qui est démontré à l'intérieur du système par rapport à ce qui vaut dans les structures visées.

Conséquence

Les systèmes formels rendent les preuves et les dérivations explicites et vérifiables, permettant une analyse rigoureuse de la démontrabilité, la mécanisation (assistants de preuve) et des résultats méta comme les théorèmes d'incomplétude de Gödel qui dépendent de la forme syntaxique précise du système.

Inversion

La perspective inversée met l'accent sur la pratique mathématique informelle et l'argumentation sémantique plutôt que sur la dérivation formelle : l'argumentation informelle ou les énoncés de vérité modèle-théoriques peuvent guider les mathématiques mais n'ont pas la certifiabilité mécanique d'un système formel tant qu'ils ne sont pas formalisés.

Limite

Un système formel est purement syntaxique et ne fournit pas de sens en lui-même ; la sémantique (modèles, interprétations) se situe en dehors du système. Il exclut le raisonnement mathématique informel, la justification empirique et tout contenu sémantique implicite sauf si cela est explicitement ajouté comme axiome ou règle.

Tension sémantique

Il existe une tension entre la démontrabilité syntaxique (ce que le système formel peut dériver) et la vérité sémantique (ce qui est vrai dans les modèles visés ou dans tous les modèles) : les théorèmes de complétude, de correction et de décidabilité articulent cette tension et montrent les limites de la formalisation.

Synthèse

Un Système Formel est une machine syntaxique délibérément contrainte : un langage, des axiomes et des règles d'inférence qui produisent des preuves formelles ; cette séparation permet la vérification mécanique, l'analyse méta-mathématique et des énoncés précis sur ce qui est démontrable par rapport à ce qui est vrai dans certaines interprétations.