Le théorème affirmant que pour toute progression arithmétique a, a+d, a+2d, ... avec des entiers a et d tels que gcd(a,d)=1, il existe une infinité de nombres premiers dans cette progression.

Principe

La coprimalité du premier terme et du module garantit l'existence de caractères multiplicatifs non triviaux modulo d et que les séries L associées ne s'annulent pas en s=1 pour les raisons analytiques requises, produisant des contributions non nulles qui impliquent une infinité de premiers dans chaque classe résiduelle première avec d.

Démonstration

Un cas concret : il existe une infinité de nombres premiers congrus à 1 modulo 4 et une infinité congrus à 3 modulo 4 ; le théorème de Dirichlet l'assure en appliquant des caractères modulo 4 et en étudiant les séries L correspondantes pour montrer la divergence des sommes partielles des réciproques des premiers dans la progression.

Mauvaise application

Supposer que le théorème fournit des comptes effectifs de nombres premiers sur de petits intervalles ou une uniformité sans termes d'erreur ; Dirichlet garantit l'infinitude mais ne fournit pas en soi des asymptotiques précis ou la distribution en petits intervalles sans résultats plus profonds (par exemple le théorème des nombres premiers pour les progressions arithmétiques).

Conséquence

Établit que les premiers se répartissent entre les classes résiduelles premières, fonde une grande partie de la théorie analytique et algébrique des nombres (y compris la théorie des corps de classes et des généralisations de la distribution des premiers) et fournit un point de départ pour des raffinements effectifs et de densité.

Inversion

Si gcd(a,d)>1 la progression contient au plus un premier trivial égal au diviseur commun et sinon aucun ; ainsi la conclusion du théorème échoue sans l'hypothèse de coprimalité et la situation inversée est triviale ou dépourvue de premiers.

Limite

S'applique aux progressions arithmétiques d'entiers de module d≥1 et exige gcd(a,d)=1 ; il concerne les nombres premiers ordinaires dans Z et n'aborde pas directement les premiers dans des corps de nombres, les premiers de formes particulières sans coprimalité, ni des bornes d'erreur effectives sans théorèmes complémentaires.

Tension sémantique

Le théorème de Dirichlet garantit l'infinitude mais doit être distingué des résultats de densité comme le théorème des nombres premiers pour les progressions ou d'énoncés plus forts sur la distribution (équidistribution, Chebotarev) ; la confusion survient lorsque l'infinitude est confondue avec une uniformité quantitative.

Synthèse

Le théorème de Dirichlet montre que les classes résiduelles coprimes contiennent infiniment de premiers : grâce aux propriétés analytiques des séries L attachées aux caractères modulo d, toute progression arithmétique dont le premier terme est premier avec le module contient une infinité de nombres premiers, établissant une régularité fondamentale dans la distribution des premiers.