Pour un opérateur différentiel elliptique sur une variété compacte lisse, le théorème d'Atiyah–Singer affirme que son indice analytique (dimension du noyau moins dimension du conoyau) est égal à un indice topologique calculable à partir des classes caractéristiques de la variété et du symbole de l'opérateur.

Principe

Des invariants analytiques d'opérateurs elliptiques coïncident avec des invariants topologiques des données géométriques sous-jacentes ; l'indice est stable par déformation continue et calculable par des formules en classes caractéristiques.

Démonstration

L'indice de l'opérateur de Dirac sur une variété spin compacte vaut le genre  de la variété ; de même, l'indice de l'opérateur de signature recouvre la signature de la forme d'intersection en cohomologie centrale, illustrant l'égalité entre topologie et analyse.

Mauvaise application

Appliquer le théorème à des opérateurs non elliptiques, à des variétés non compactes sans conditions de décroissance, ou à des opérateurs ne satisfaisant pas la propriété de Fredholm conduit à des conclusions incorrectes ; la compacité et l'ellipticité sont essentielles.

Conséquence

Le théorème fournit des résultats puissants d'existence et d'obstruction : l'annulation ou non de l'indice implique l'existence de solutions aux EDP, impose des contraintes sur la topologie des variétés et engendre des relations utiles en géométrie et en physique mathématique.

Inversion

En sens inverse, des calculs topologiques de l'indice prédisent des phénomènes analytiques tels que la dimension des espaces de solutions ; un indice nul suggère un équilibre net entre solutions et obstructions mais n'assure pas que noyau et conoyau soient chacun triviaux.

Limite

Le résultat classique exige des opérateurs elliptiques sur des variétés compactes lisses (éventuellement munies de structures comme un spine) et fait appel à la K-théorie et aux classes caractéristiques ; des généralisations traitent des problèmes aux limites, des contextes non compacts et des familles d'opérateurs.

Tension sémantique

Il existe une tension entre le point de vue analytique de l'indice de Fredholm et le point de vue topologique algébrique via la K-théorie : le théorème identifie ces invariants a priori distincts, mais le calcul concret exige souvent une traduction entre langages analytiques et topologiques.

Synthèse

Atiyah–Singer relie analyse et topologie en égalant l'indice de Fredholm d'opérateurs elliptiques à un indice topologique calculable, offrant un outil profond pour traduire des problèmes d'opérateurs différentiels en calculs de classes caractéristiques et réciproquement.