Une fonction v_p qui assigne à chaque entier non nul n l'exposant du premier p qui divise n ; étendue aux rationnels par v_p(a/b)=v_p(a)−v_p(b) et ensuite aux corps et anneaux de valuation pour mesurer la divisibilité p-adique et définir la valeur absolue p-adique.

Principe

Quantifier la multiplicité du premier p dans une décomposition en facteurs de sorte que v_p(xy)=v_p(x)+v_p(y) et v_p(x+y)≥min(v_p(x),v_p(y)), ce qui fournit une valuation non archimédienne déterminant une ultramétrique.

Démonstration

Pour p=2, v_2(40)=3 car 40=5·2^3 ; pour la fraction 3/8 on a v_2(3/8)=v_2(3)−v_2(8)=0−3=−3, et la valeur absolue p-adique induite vaut |3/8|_2=2^{3}.

Mauvaise application

Considérer v_p comme une grandeur archimédienne respectant l'inégalité triangulaire usuelle ou supposer que v_p(x+y)=min systématiquement sans vérifier l'éventuelle annulation qui peut augmenter la valuation.

Conséquence

L'utilisation correcte engendre une métrique non archimédienne et la complétion Q_p avec des structures analytiques et algébriques spécifiques ; elle éclaire les principes locaux-globaux et la ramification en théorie des nombres.

Inversion

Remplacer la valuation p-adique par la valeur absolue usuelle donne une métrique archimédienne où les exposants multiplicatifs n'expriment plus la divisibilité et où les propriétés ultramétriques disparaissent.

Limite

Définie pour les éléments non nuls des entiers, des rationnels et étendue aux éléments de corps ou d'anneaux de valuation ; n'est pas applicable aux places infinies (archimédiennes) et doit être adaptée aux valuations de rang supérieur ou à groupes valuatifs non discrets.

Tension sémantique

Proche de la valeur absolue p-adique et des valuations en géométrie algébrique ; la tension apparaît entre la v_p discrète sur Q et des valuations plus générales de rang un ou supérieur qui enregistrent des données supplémentaires.

Synthèse

La valuation p-adique est la mesure multiplicative et discrète de la divisibilité par un premier p fixé, codant algébriquement les exposants de divisibilité, induisant une norme non archimédienne et guidant l'arithmétique et la topologie locales.