Un espace topologique dans lequel chaque point admet un voisinage dont l'adhérence (prise dans l'espace) est compacte.

Principe

La compacité locale organise la topologie en garantissant que des propriétés de compacité valent au niveau des petits voisinages, ce qui permet des constructions et des arguments de type local-à-global appliqués point par point.

Démonstration

L'espace euclidien R^n et toute variété de dimension finie sont localement compacts : autour de chaque point on peut choisir une boule ouverte suffisamment petite dont l'adhérence est une boule fermée compacte. Un espace de Hilbert de dimension infinie n'est généralement pas localement compact.

Mauvaise application

Confondre compacité locale et compacité globale, exiger que le voisinage soit lui-même compact plutôt que sa clôture, ou tenter une compactification à un point sans vérifier les hypothèses de Hausdorff et de compacité locale.

Conséquence

La compacité locale (souvent avec la séparation de Hausdorff) permet des constructions comme la compactification à un point, l'existence de partitions de l'unité localement finies sur les variétés et la définition de mesures locales bien comportées.

Inversion

La négation correspond à un espace où au moins un point ne possède aucun voisinage à adhérence compacte ; la compacité globale est la propriété plus forte selon laquelle l'espace entier est compact.

Limite

La propriété s'applique aux espaces topologiques et dépend de la topologie choisie ; elle n'implique pas la séparabilité, la métrisabilité ni la compacité globale, et doit être distinguée de la σ-compacité.

Tension sémantique

Il existe une tension entre compacité locale et invariants globaux (compacité, σ-compacité, métrisabilité) et entre l'intuition de « voisinages compacts » et l'exigence formelle portant sur les adhérences.

Synthèse

La compacité locale signifie que chaque point possède autour de lui un petit morceau dont l'adhérence se comporte comme un espace compact, permettant d'appliquer localement des outils issus de la théorie de la compacité sans exiger la compacité de l'espace entier.