Un espace topologique dans lequel deux points quelconques peuvent être reliés par un chemin continu (une application continue de l'intervalle [0,1] dans l'espace dont les extrémités sont ces points).

Principe

Il s'agit d'une forme renforcée de connexité qui exige l'existence d'arcs continus reliant les points : la topologie admet des chemins paramétrés continus reliant chaque paire de points.

Démonstration

L'espace euclidien R^n est connexe par arcs car pour deux points on peut prendre le segment droit paramétré t ↦ (1−t)x + t y, un chemin continu contenu entièrement dans R^n.

Mauvaise application

Prétendre que la connexité par arcs implique la simple connexité ou que l'image d'un chemin est ouverte ; la connexité par arcs ne contrôle ni la contraction des lacets ni l'ouverture des images de chemins.

Conséquence

Les composantes par arcs partitionnent l'espace en sous‑ensembles maximaux connexes par arcs ; dans les espaces localement connexes par arcs ces composantes sont ouvertes et la connexité par arcs entraîne la connexité, facilitant les constructions en topologie algébrique.

Inversion

Un espace peut être connexe sans être connexe par arcs (par exemple la courbe sin(1/x) avec adhérence jointe au segment vertical), donc l'absence de chemins signifie que certaines paires ne peuvent pas être reliées par des chemins continus malgré l'absence de séparation topologique.

Limite

Dépend des applications continues de [0,1] ; condition plus forte que la simple connexité et distincte des propriétés d'homotopie supérieure ou d'homologie ; la localité de la connexité par arcs ou la structure de variété modifient les conséquences.

Tension sémantique

Tension avec la connexité : la connexité interdit la séparation en deux ouverts disjoints mais n'exige pas l'existence de chemins entre points; la connexité par arcs exige ces liens continus et est en général strictement plus forte.

Synthèse

La connexité par arcs exige un chemin continu reliant chaque paire de points, produisant des composantes par arcs qui affinent les composantes connexes et permettent des arguments constructifs d'homotopie tout en restant distincte des notions d'homotopie supérieure ou de simple connexité.