Une décomposition orthogonale canonique de la cohomologie de de Rham d'une variété kählérienne compacte en sous-espaces de formes différentielles de bidegré complexe fixé, réalisée par des représentants harmoniques pour chaque bidegré.

Principe

Théorie de Hodge : sur une variété kählérienne compacte, l'opérateur de Laplace associé à la métrique donne des espaces finis de formes harmoniques dont la somme directe, organisée par type de Hodge (p,q), reconstitue la cohomologie totale.

Démonstration

Pour une surface de Riemann compacte de genre g, H^1_{dR} se scinde en H^{1,0} ⊕ H^{0,1} ; les 1-formes holomorphes fournissent le summand H^{1,0} et leurs conjuguées complexes donnent H^{0,1}, de sorte que la cohomologie réelle de dimension 2g est expliquée par g formes holomorphes complexes et leurs conjuguées.

Mauvaise application

Prétendre que le même scindement par bidegré vaut pour toute variété complexe sans la condition kählérienne ; sur des variétés complexes non kählériennes, les espaces H^{p,q} peuvent ne pas reconstituer orthogonalement la cohomologie de de Rham.

Conséquence

Fournit des invariants numériques (nombres de Hodge) qui restreignent la topologie et la structure complexe, entraîne la symétrie de Hodge et des relations entre nombres de Betti et de Hodge, et permet de calculer la cohomologie à partir de données holomorphes.

Inversion

L'inversion produit une situation où la cohomologie ne se scinde pas par bidegré : pour une variété non compacte ou non kählérienne, les représentants harmoniques existent éventuellement mais ne donnent pas nécessairement une décomposition par (p,q).

Limite

Nécessite une variété kählérienne compacte pour la décomposition complète en types (p,q) ; pour une variété riemannienne compacte générale, il existe une isomorphie de Hodge entre formes harmoniques et cohomologie de de Rham mais pas de raffinage en (p,q).

Tension sémantique

Peut être confondue avec la filtration de Hodge ou avec la simple identification des formes harmoniques ; la décomposition est une somme directe par bidegré, tandis que la filtration de Hodge est une filtration décroissante portant des informations connexes mais différentes.

Synthèse

La décomposition de Hodge affirme que, sur une variété kählérienne compacte, l'harmonicité métrique et la structure de bidegré complexe se combinent pour scinder la cohomologie de de Rham en summands orthogonaux (p,q), produisant des nombres de Hodge calculables reflétant à la fois topologie et géométrie complexe.