Extension de l'induction mathématique aux ordinaux bien ordonnés : pour établir une propriété P(α) pour tout ordinal α, on montre P(0), on prouve P(α+1) en supposant P(α) pour chaque successeur α+1, et on établit P(λ) pour chaque ordinal limite λ en supposant P(β) pour tout β<λ.

Principe

Exploiter le caractère bien fondé de la classe des ordinaux pour propager un cas de base via des étapes de successeur et pour déduire les cas limites à partir de tous les antécédents, couvrant ainsi chaque ordinal selon une récursion transfinie sur le rang.

Démonstration

Pour démontrer une propriété de rang, vérifier P(0), prouver que pour tout α l'implication P(α)⇒P(α+1) tient, et pour tout ordinal limite λ montrer que la propriété tient en λ en se basant sur l'ensemble {P(β):β<λ}.

Mauvaise application

Ne réaliser que l'étape de successeur sans traiter les ordinaux limites ; ceci échoue lorsque la première contre-exemple possible se situe à un ordinal limite, puisque les limites exigent une justification indépendante par agrégation des cas antérieurs.

Conséquence

Une induction transfinie correctement menée établit des assertions universelles indexées par tous les ordinaux, permettant d'établir des propriétés sur des hiérarchies bien ordonnées, des constructions dépendant des ordinaux et la terminaison de processus transfinis.

Inversion

L'inversion consiste en un raisonnement non bien fondé ou circulaire qui ne distingue pas étapes de successeur et étapes limites ; la perspective inverse est l'induction bien fondée sur des ensembles arbitraires plutôt que sur des ordinaux indexés.

Limite

S'applique aux propriétés indexées par des ordinaux (une classe bien ordonnée) ; il faut distinguer le cas où les ordinaux forment une classe propre plutôt qu'un ensemble et noter que la méthode suppose l'accès aux prédécesseurs pour les successeurs et à tous les ordinaux strictement inférieurs pour les limites.

Tension sémantique

On confond fréquemment l'induction transfinie avec des arguments de type Zorn (élément maximal) ou l'induction bien fondée sur des posets partiels ; ces outils produisent souvent des résultats d'existence mais ne remplacent pas la vérification structurée exigée par l'induction transfinie.

Synthèse

L'induction transfinie consiste à établir P(0), à propager la vérité via les successeurs et à traiter les ordinaux limites par agrégation des cas inférieurs ; ces étapes conjointes couvrent tous les ordinaux et valident les affirmations indexées par les ordinaux.