Un espace paramétrique géométrique dont les points correspondent aux classes d'isomorphie d'objets d'un type fixé (variétés, fibrés, faisceaux, courbes, etc.), souvent muni d'une structure de schéma, variété ou champ reflétant les familles et la théorie des déformations.

Principe

Un espace de modules représente ou coreprésente un problème de modules : il paramètre les objets en familles et satisfait une propriété universelle ou grossière d'adjonction ; lorsque les automorphismes empêchent la représentabilité on passe aux champs ou aux modules grossiers.

Démonstration

La Grassmannienne paramètre les sous-espaces linéaires d'une dimension fixée dans un espace vectoriel (un espace de modules fin pour les sous-espaces), tandis que l'espace de modules des courbes projectives lisses de genre g existe typiquement comme champ de Deligne–Mumford ou seulement comme module grossier après quotient par les automorphismes.

Mauvaise application

Prendre un ensemble naïf de classes d'isomorphie pour un espace de modules sans topologie ni structure de schéma, ou ignorer les groupes d'automorphismes et perdre ainsi la « stackyness » et les phénomènes de stabilisateurs.

Conséquence

Une construction de modules correcte organise les familles, permet d'étudier la variation d'invariants (dimensions, nombres de Hodge), donne des compactifications et des strates frontières, et facilite les calculs d'intersection et énumératifs.

Inversion

Remplacer un espace de modules fin par un simple ensemble de paramètres supprime les familles universelles ; remplacer un champ de modules par un quotient naïf fait perdre l'information sur les stabilisateurs et gêne les énoncés fins de déformation.

Limite

Tous les problèmes de classification ne sont pas représentables par un schéma ou une variété : on rencontre la non-séparabilité, l'existence d'automorphismes, et la nécessité de champs, espaces algébriques ou améliorations dérivées ; des conditions de stabilité et la GIT restreignent souvent aux lieux bien comportés.

Tension sémantique

La tension apparaît entre modules grossiers, modules fins et champs de modules ; entre représenter des familles et classer des objets à isomorphisme près, et entre points géométriques et objets munis d'automorphismes non triviaux.

Synthèse

Un espace de modules est la solution géométrique à un problème de classification : il assemble les classes d'isomorphie en un espace paramétrique muni de la structure adéquate (schéma, variété, espace algébrique ou champ) de sorte que les familles d'objets correspondent aux morphismes vers cet espace.