Un faisceau localement libre de rang un ou un fibré dont les fibres sont des espaces vectoriels unidimensionnels, fournissant le support géométrique du torsionnement des sections et définissant les faisceaux inversibles sur schémas ou les fibrés vectoriels de rang un en topologie.

Principe

Un fibré en droites est localement trivial de rang un et est donc déterminé par des fonctions de transition à valeurs dans le groupe multiplicatif ; produit tensoriel, dual et image réciproque lui confèrent une structure de type groupe représentée par le groupe de Picard des classes d'isomorphie.

Démonstration

Sur l'espace projectif P^n les fibrés tautologiques O(-1) et leur dual O(1) sont des exemples standards : les sections de O(1) correspondent aux formes linéaires et aux diviseurs hyperplans, et leurs puissances tensorielle donnent tous les O(k).

Mauvaise application

Supposer qu'un fibré en droites est trivial globalement parce qu'il est trivial sur un recouvrement aux ouverts trop grossiers, ou confondre un fibré en droites avec un fibré de rang supérieur ou avec un module inversible dépourvu de liberté locale.

Conséquence

Employé correctement, le fibré en droites détermine les classes de diviseurs et les systèmes linéaires, commande les plongements via des fibrés très amples, et forme le groupe de Picard dont la structure reflète la déformation géométrique et la classification.

Inversion

Remplacer un fibré en droites par un faisceau cohérent de rang un non inversible rompt la propriété d'existence d'un inverse tensoriel ; considérer des fibrés de rang supérieur fait perdre la correspondance avec les diviseurs et l'image simple des fonctions de transition multiplicatives.

Limite

Exige la liberté locale de rang un ; il faut distinguer fibrés algébriques (faisceau inversible), analytiques et topologiques et noter les obstructions à la trivialité (classe de Chern, première classe de Stiefel–Whitney, etc.).

Tension sémantique

La tension tient aux points de vue « fibré en droites » (géométrique), « faisceau inversible » (algébrique) et « G_m‑torseur » (langage des torseurs) ; chacun met en lumière des constructions et invariants différents.

Synthèse

Un fibré en droites est le fibré vectoriel localement trivial de dimension un dont les sections mesurent le torsionnement ; algébriquement c'est un faisceau inversible et, à isomorphisme près, ses classes gouvernent les diviseurs, les plongements et les invariants cohomologiques.