Une combinaison linéaire finie à coefficients entiers de sous-variétés irréductibles de codimension un (diviseurs premiers) sur une variété algébrique, servant à consigner les ordres d'annulation et de pôles de fonctions rationnelles ou de sections de fibrés en droites.

Principe

Les diviseurs codent les ordres locaux d'annulation le long des lieux de codimension un et organisent ces données modulo l'équivalence linéaire ; les diviseurs principaux proviennent des ordres logarithmiques de fonctions rationnelles et les diviseurs de Cartier correspondent à des équations locales à valeurs simples lorsque cela a du sens.

Démonstration

Sur une courbe projective lisse, une fonction rationnelle non nulle f définit le diviseur principal (f)=Σ_v ord_v(f)·v, sommant les zéros avec multiplicité positive et les pôles avec multiplicité négative ; sur une surface, une composante de courbe apparaît comme terme de codimension un avec un coefficient entier.

Mauvaise application

Considérer toute sous-variété comme un diviseur quelle que soit sa codimension, ou supposer que tout diviseur de Weil est de Cartier sur une variété non normale ; ou identifier un diviseur à une unique équation globale lorsqu'il n'en existe pas.

Conséquence

Une utilisation correcte conduit aux groupes de classes de diviseurs et au groupe de Picard, au lien avec les fibrés en droites et les systèmes linéaires, et aux nombres d'intersection qui gouvernent la géométrie et les invariants énumératifs.

Inversion

Inverser les coefficients transforme un diviseur effectif en anti-effectif (les zéros deviennent pôles) ; oublier l'équivalence linéaire remplace les classes de diviseurs par des cycles bruts et fait perdre l'information sur les fibrés associés.

Limite

Ne concerne que les cycles de codimension un ; il faut distinguer diviseurs de Weil et de Cartier, diviseurs principaux et effectifs — certaines égalités exigent la normalité ou la lissité.

Tension sémantique

Le terme diviseur rivalise avec des notions connexes telles que cycles généraux, sous-variétés d'autres codimensions, et fibrés en droites/faisceaux inversibles ; la tension vient de l'opposition entre données cycle-théoriques brutes et classes d'équivalence reflétant des fibrés géométriques.

Synthèse

Un diviseur est le cycle de codimension un qui enregistre où et avec quelle multiplicité des sections ou fonctions s'annulent ou divergent ; modulo les diviseurs principaux il classe le torsionnement décrit par les fibrés en droites associés.