Une suite graduée de groupes ou modules de cochaînes C^n munie d'applications de cobord δ^n : C^n → C^{n+1} vérifiant δ^{n+1} ∘ δ^n = 0 ; la cohomologie H^n = ker δ^n / im δ^{n-1} mesure des obstructions duales à l'homologie des chaînes.

Principe

Dualiser le principe du bord : les cobords composés sont nuls et détectent les cochaînes dont les obstructions s'annulent à une cochaîne exacte près, permettant des invariants cohomologiques et des opérations algébriques comme le produit cup.

Démonstration

Le complexe de cochaînes singulier à coefficients dans un groupe abélien associe à chaque n le groupe des fonctions des n-chaînes singulières vers le groupe de coefficients ; son cobord est la transposée du bord singulier et calcule la cohomologie singulière.

Mauvaise application

Supposer que H^n ≅ Hom(H_n) sans hypothèses de finitude ou de coefficients universels, ou dualiser des complexes de chaînes de dimension infinie sans tenir compte des topologies ou des termes Ext.

Conséquence

Des groupes de cohomologie apparaissent avec des structures algébriques naturelles (produit cup, opérations supérieures) qui affinent l'information homologique, permettent des suites spectrales et classifient des extensions ou obstructions.

Inversion

Un complexe de chaînes inverse degrés et flèches : travailler avec les chaînes met l'accent sur les cycles modulo les bords, tandis que les cochaînes privilégient les fonctions sur les chaînes et les opérations algébriques qui augmentent le degré.

Limite

Défini dans des contextes additifs ; lorsque les coefficients ou la dualisation exigent des espaces vectoriels topologiques ou des catégories dérivées, la description naïve en dimension finie doit être raffinée et des structures supplémentaires suivies.

Tension sémantique

Une tension existe entre les complexes de cochaînes considérés comme objets gradués simples et les algèbres différentielles graduées complètes : l'ajout d'une structure multiplicative modifie les invariants et les constructions disponibles comme les produits et opérations de Massey.

Synthèse

Un complexe de cochaînes est le pendant dual, croissant en degré, d'un complexe de chaînes : des cobords dont le carré est nul définissent des groupes de cohomologie qui captent des obstructions et portent des structures multiplicatives utiles en topologie et en algèbre.