Une suite d'ensembles indexée par les entiers naturels munie d'applications de faces et de dégénérescences vérifiant les identités simpliciales ; un objet combinatoire qui représente des simplexes et leurs recollements pour modéliser des types d'homotopie.

Principe

Organiser des données combinatoires en encodant fonctoriellement les n-simplexes, leurs faces et dégénérescences de sorte que les relations algébriques entre les applications reflètent les relations géométriques entre simplexes.

Démonstration

Le nerf d'une petite catégorie est un ensemble simplicial : ses n-simplexes sont les n-uplets composables de morphismes. L'ensemble simplicial représentable standard Δ[n] possède un simplexe non dégénéré en degré n et modélise le simplexe combinatoire de dimension n.

Mauvaise application

Considérer une suite quelconque d'ensembles munie de quelques applications comme un ensemble simplicial sans vérifier toutes les identités simpliciales ou en ignorant les applications de dégénérescence, conduisant à des invariants d'homotopie erronés.

Conséquence

Correctement utilisé, un ensemble simplicial admet une réalisation géométrique et modélise les espaces à homotopie près ; il permet des constructions comme fibrations de Kan, colimites simpliciales et homotopie simpliciale.

Inversion

Un objet cosimplicial inverse la variance : au lieu d'ensembles indexés contravariants, un objet cosimplicial possède des applications covariantes et sert plutôt à des constructions de type cochaîne qu'aux simplexes combinatoires.

Limite

N'implique pas d'immersion dans un espace euclidien et se distingue d'un complexe simplicial ; les questions de finitude, de finitude locale ou de structure de variété sont hors du terme sauf précision contraire.

Tension sémantique

La tension s'exerce avec « complexe simplicial » (géométrique, recollements non dégénérés) et avec « Δ-ensemble/Delta-set » (qui peut omettre les dégénérescences) : ces notions proches partagent des simplexes mais diffèrent par les dégénérescences et la structure combinatoire autorisée.

Synthèse

Un ensemble simplicial encode catégoriquement les simplexes et leurs relations combinatoires via des applications de faces et de dégénérescences satisfaisant les identités simpliciales, fournissant un modèle purement combinatoire et flexible pour la théorie de l'homotopie.