Un espace topologique construit de manière inductive en attachant des cellules de dimension n (homéomorphes à des boules ouvertes n-dimensionnelles) au squelette de dimension n−1 via des applications d'attache depuis les sphères bordantes S^{n−1}, muni de la topologie faible induite par les attachements et satisfaisant la condition de fermeture finie.

Principe

Les principes organisateurs sont la construction cellule par cellule, la fermeture-finitude (chaque cellule n'intersecte que finiment de clôtures d'autres cellules) et l'adoption de la topologie faible relative aux cellules ; ces exigences garantissent des théories d'homotopie et d'homologie cellulaires maniables.

Démonstration

Exemple : la sphère S^n admet une structure CW avec une 0-cellule et une n-cellule attachée par l'application constante de S^{n-1} vers la 0-cellule ; des espaces plus complexes comme certains espaces projectifs et nombreuses variétés possèdent des décompositions CW naturelles.

Mauvaise application

Supposer que toute décomposition en cellules est une structure CW sans vérifier la fermeture-finitude ou la topologie faible, ou confondre complexes CW et complexes simpliciaux en attendant des triangulations canoniques dans tous les cas.

Conséquence

Les complexes CW bénéficient d'outils puissants de topologie algébrique : l'homologie cellulaire calcule l'homologie à partir de la structure cellulaire, et la théorie d'homotopie des CW simplifie les preuves d'équivalences d'homotopie et la construction de fonctions à homotopie près.

Inversion

L'idée inverse est une décomposition cellulaire arbitraire sans les axiomes CW (par ex. une infinité de cellules accumulant dans la clôture d'une cellule) qui peut détruire des propriétés souhaitables comme la contractilité locale et rendre invalides les calculs cellulaires.

Limite

Les complexes CW incluent de nombreux espaces d'intérêt (variétés, quotients usuels) mais excluent les espaces au comportement local pathologique ou les attachements de cellules violant la fermeture-finitude ou la topologie faible ; la triangulabilité n'est pas garantie pour tout CW complexe.

Tension sémantique

Il existe une tension entre complexes CW, complexes simpliciaux et variétés : bien que de nombreux espaces admettent à la fois des structures CW et simpliciales, ces choix influent sur les méthodes de calcul et les invariants, et certains espaces ont des décompositions CW naturelles sans triangulation simple.

Synthèse

Un complexe CW est un espace topologique muni d'une structure cellulaire construite inductivement en attachant des disques par leurs sphères frontières sous les conditions de fermeture-finitude et de topologie faible : cette construction concilie souplesse et calculabilité et constitue une classe centrale d'espaces en topologie algébrique.