Un sous‑ensemble ou une suite d'une structure dont les tuples finis ont le même type sur un ensemble de paramètres fixé chaque fois que ces tuples ont le même type d'ordre à l'intérieur du sous‑ensemble ; de façon équivalente, aucune formule avec paramètres du base ne distingue des tuples d'ordre équivalent. Les indiscernables sont des configurations hautement symétriques utilisées dans des arguments combinatoires et de classification.

Principe

L'indiscernabilité est l'invariance des types sous les permutations qui préservent le type d'ordre (ou le motif d'indices) des tuples : pour tout n fini et pour tous deux n‑uplets croissants du sous‑ensemble, leurs types sur l'ensemble de paramètres choisi coïncident. L'ensemble de paramètres doit être spécifié car l'indiscernabilité lui est relative.

Démonstration

Dans un modèle saturé d'une théorie stable, on peut souvent trouver une suite infinie (a_i)_{i∈ℤ} telle que pour tout choix fini d'indices strictement croissants i_1<...

Mauvaise application

Confondre l'indiscernabilité avec la simple invariance sous les automorphismes du modèle entier, ou supposer que toute suite apparemment symétrique est indiscernable sans vérifier l'ensemble de paramètres. Une autre erreur consiste à traiter l'indiscernabilité d'ordre comme une indiscernabilité par toutes les formules uniformément sans préciser la base de paramètres.

Conséquence

Les ensembles indiscernables fournissent des témoins canoniques de régularité combinatoire, sont centraux en théorie de la stabilité et de la simplicité, et peuvent servir à construire des modèles au comportement contrôlé (par ex. via des constructions EM). Ils simplifient les raisonnements en remplaçant des dépendances de paramètres compliquées par une uniformité en indice.

Inversion

Un ensemble discernable est un ensemble où une formule avec paramètres de la base distingue certains tuples selon leur type d'ordre ; inverser l'indiscernabilité fait apparaître des asymétries combinatoires et la possibilité de phénomènes de division ou de forking.

Limite

L'indiscernabilité est toujours relative à un ensemble de paramètres choisi et, éventuellement, à un type d'ordre ; elle n'implique pas l'invariance globale par automorphisme ni la définissabilité. Les conditions d'indiscernabilité finie diffèrent des conditions infinies et l'existence dépend de la saturation et des propriétés combinatoires de la théorie.

Tension sémantique

Lien étroit avec l'homogénéité et l'échangeabilité : l'homogénéité exige l'extension globale des isomorphismes partiels, l'échangeabilité est une symétrie probabiliste ; l'indiscernabilité est une symétrie syntaxique/théorique des types relative à des paramètres. Ces notions voisines se confondent si la base et le contexte ne sont pas explicites.

Synthèse

Un ensemble indiscernable est une configuration symétrique relative à un ensemble de paramètres dans un modèle : les tuples finis ayant le même ordre interne réalisent les mêmes types sur la base, fournissant un objet combinatoire uniforme qui simplifie l'analyse des types et alimente la construction de modèles à régularité prescrite.