Un élément imaginaire est une classe d'équivalence de tuples pour une relation d'équivalence définissable, considérée comme un nouvel élément dans l'expansion imaginaire M^eq d'une structure ; les imaginaires permettent de traiter les quotients par relations définissables comme de véritables sortes.

Principe

Internaliser les objets quotient définissables en adjoignant des noms aux classes d'équivalence de sorte que la définissabilité, les paramètres et l'action des automorphismes puissent être discutés uniformément à l'intérieur d'une structure enrichie.

Démonstration

Si E(x,y) est une relation d'équivalence définissable sur M^n, alors chaque classe [a]_E est un imaginaire ; par exemple, les classes à gauche d'un sous‑groupe définissable ou l'ensemble des zéros d'un polynôme modulo permutation peuvent être représentés comme imaginaires dans M^eq.

Mauvaise application

Traiter des quotients ou classes d'équivalence arbitraires non définissables comme des imaginaires, ou confondre la notion modèle‑théorique avec d'autres emplois du mot « imaginaire » (p. ex. les imaginaires en analyse complexe).

Conséquence

L'ajout d'imaginaires simplifie souvent les énoncés de classification et de définissabilité (par ex. permet de faire des paramètres canoniques des éléments réels), autorise l'étude de l'élimination des imaginaires et clarifie le calcul des orbites/stabilisateurs sous les automorphismes.

Inversion

La réversion consiste à rester dans la structure d'origine sans ajouter de sortes : au lieu de traiter les classes comme des éléments, on travaille avec des représentants et des formules sur les tuples, ce qui complique parfois les énoncés sur la définissabilité et l'invariance.

Limite

Les imaginaires ne sont associés qu'à des relations d'équivalence définissables (éventuellement avec paramètres) et exigent le passage à M^eq ou à des enrichissements analogues ; les relations arbitraires non définissables dans le langage sont exclues.

Tension sémantique

Tension entre garder l'univers « concret » (seules les sortes d'origine) et l'enrichir par des imaginaires : les imaginaires simplifient la logique au prix d'une extension de la signature et d'un changement de ce qui compte comme « élément ».

Synthèse

Un imaginaire est un dispositif formel qui transforme une classe d'équivalence définissable en un élément effectif d'une structure enrichie, permettant un traitement uniforme des quotients, des paramètres et de l'invariance en analyse modèle‑théorique.